3. Момент скользящего вектора. Плюккеровы координаты.
Рассмотрим такие свойства скользящего вектора, которые не изменяются при перенесении вектора в любую точку его линии действия, иначе говоря, являющиеся инвариантными относительно скольжения вектора вдоль линии действия. Такими инвариантными величинами являются, прежде всего, три проекции X, Y, Z скользящего вектора на оси декартовой системы координат. Построим плоскость 
проходящую через начало координат и линию действия скользящего вектора. В этой плоскости рассмотрим треугольник 
(рис. 10). Плоскость треугольника и его площадь
не меняются при скольжении вектора вдоль его линии действия. Плоскость 
разбивает пространство на две части. Ту сторону от плоскости 
откуда вращение от начала вектора а к его концу (от А к В) видно происходящим против хода часовой стрелки, назовем положительной, а противоположную сторону — отрицательной. Нетрудно заметить, что положительная и отрицательная стороны плоскости 
не меняются при скольжении вектора вдоль его линии действия.
Рис. 10
Рис. 11
Объединяя отмеченные свойства в одно векторное представление, введем в рассмотрение свободный вектор 
ортогональный к плоскости 
и направленный в положительную от нее сторону; величину вектора Q примем равной удвоенной площади треугольника 
, т. е.
Построенный так вектор Q будем называть моментом вектора а относительно начала координат:
Замечание. Так как понятие момента связано с определенной линией действия, то не имеет смысла термин «момент свободного вектора».
Если известны величина и направление скользящего вектора, то задание вектора Q полностью определяет скользящий вектор. В самом деле, вектор Q однозначно определяет плоскость 
ортогональную к его линии действия и проходящую через начало координат (рис. 10). Линия действия вектора а находится в плоскости 
на расстоянии
от начала координат. Зная, кроме того, направление вектора а, нетрудно определить и его линию действия. Для этого в плоскости
через начало координат проведем прямую, ортогональную к вектору а, и отложим на ней отрезок 
таким образом, чтобы направления 
, а и Q составляли бы правую тройку. Тогда линия действия вектора а будет проходить через точку А.
Задание проекций векторов а и Q полностью определяет скользящий вектор а, а потому величины 
можно рассматривать как координаты скользящего вектора. В силу определения момента скользящего вектора эти величины не могут быть заданы произвольно, так как векторы а и Q ортогональны и, следовательно, их скалярное произведение всегда равно нулю, т. е.
Отсюда видно, что из введенных шести координат, определяющих скользящий вектор, независимых будет только пять. Шесть величин 
называются плюккеровыми координатами скользящего вектора.
