4. Случай Лагранжа.

В IX разделе своей «Аналитической механики» Лагранж показал, что уравнения движения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой могут быть проинтегрированы, если центральный эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а неподвижная точка находится на его оси симметрии. Геометрическое исследование движения в этом случае было дано Пуассоном. Симметричное тяжелое твердое тело, имеющее неподвижную точку на оси симметрии, широко применяется в технике. Результаты исследования движения такого тела легли в основу современной теории гироскопических приборов.

Пусть эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки твердого тела, есть эллипсоид вращения, так что

и центр тяжести твердого тела не совпадает с его неподвижной точкой, а расположен на оси симметрии эллипсоида инерции (рис. 235). За подвижные оси координат х, у, z примем главные оси эллипсоида инерции. Неподвижные оси выберем так, чтобы ось была направлена вертикально вверх. Пусть координаты центра тяжести относительно подвижных осей будут равны соответственно

В сделанных предположениях динамические уравнения Эйлера примут вид

Они допускают следующие три первых интеграла: интеграл живых сил

интеграл сохранения момента количества движения относительно вертикальной оси

интеграл, получаемый из третьего уравнения Эйлера,

Здесь — проекции момента количества движения твердого тела на оси — косинусы углов между осью и осями х, у, z. При помощи кинематических уравнений Эйлера

и соотношений

первые интегралы можно преобразовать к виду

где

Эти первые интегралы представляют собой систему дифференциальных уравнений, из которых можно определить углы Эйлера в функции времени. Исключив из первых двух уравнений будем иметь

или

Полагая теперь получим

Интегрируя это уравнение, можно найти как функцию времени. Величины можно легко определить из уравнений

получающихся из первых интегралов.

Рассматривая правую часть уравнения (а)

легко заметить, что она представляет собой полином третьей степени относительно и, сохраняющий в действительном движении неотрицательное значение, так как он всегда равен квадрату действительной величины Для исследования решения уравнения (а) перепишем его сначала в виде

и рассмотрим корни полинома Исключим пока из рассмотрения случаи, когда и постоянно, а полином равен нулю во все время движения, а также случай, когда полагая, что

Аргументом функции является косинус угла нутации, который заключен в промежутке так что для действительного движения функция должна принимать неотрицательные значения в этом промежутке. Пусть начальному значению угла нутации соответствует значение функции , где . Тогда

Заметим, что . Отсюда следует, что полином имеет три вещественных корня , заключенных соответственно в промежутках (рис. 236).

Действительное движение твердого тела может происходить только в интервале расположенном внутри интервала а угол изменяется между двумя предельными значениями Если описать вокруг оси z, два круговых конуса с вершинами в неподвижной точке О и с углами при вершинах и

, то ось z будет во все время движения заключена между этими конусами. Опишем из неподвижной точки О, как из центра, сферу единичного радиуса (рис. 237), которая пересечет оба конуса по параллелям с общим полюсом Z (буквой обозначим точку пересечения сферы с осью Точка в которой ось z пересекает поверхность сферы, характеризуется величиной и и расположена между параллелями При движении твердого тела точка 2 будет описывать на поверхности сферы некоторую кривую. Плоскость, ортогональная к оси и проходящая через точку О, пересечет сферу по параллели, которую будем называть экватором.

Рис. 236

Рис. 237

Через обозначим след оси на сфере, а через у — след линии узлов. За время точки перейдут в новые положения Через полюс и точки проведем меридианы. Параллель, проходящая через точку пересечет меридиан точки z в точке К. При этом будем иметь очевидные соотношения

Обозначим через расстояние от точки z до оси

Тогда для определения угла между кривой и меридианом точки будем иметь

Подставляя сюда значения

получим

Рассмотрим характер траектории точки на сфере единичного радиуса. Пусть является корнем уравнения

Предположим сначала, что Тогда для всех значений удовлетворяющих условиям

скорость прецессии не обращается в нуль и не меняет направления, не обращается в нуль и, следовательно, касательная к траектории точки не может быть параллельна меридиану.

Рис. 238

Рис. 239

При прохождении траектории через параллели происходит смена знака полинома поэтому и и меняет знак. На самих параллелях и обращается в бесконечность. Траектория точки z будет иметь вид непрерывной кривой без особых точек, попеременно касающейся то одной, то другой параллели (рис. 238).

Если теперь то рассуждения останутся в силе для всех значений и, удовлетворяющих условию

При для получаем неопределенность, раскрывая которую по правилу Лопиталя, найдем

т. е. касательная к траектории точки становится параллельной меридиану, и на параллели меняет знак (рис. 239). Отсюда видно, что траектория на параллели имеет особую точку — точку возврата.

Рассмотрим еще случай, когда корень лежит внутри интервала т. е.

Тогда при производная будет менять знак, и будет обращаться в нуль. Траектория точки в этом случае будет иметь вид петли, обращенной вверх (рис. 240). Последнее обстоятельство становится очевидным, если проследить эволюцию траектории при непрерывном изменении начальных условий.

Рис. 240

Рис. 241

Заметим, что при любых начальных условиях всегда будет выполняться неравенство Пусть где — один из корней полинома лежащий внутри интервала Тогда

Последнее равенство выполняется только при , следовательно, полином можно представить в виде

При первая скобка обращается в нуль. Если на интервале имеется второй корень полинома то он будет обращать в нуль квадратную скобку, т. е.

Но это возможно только при

или

т. е. второй корень всегда меньше