2. Естественные уравнения равновесия нити.

С элементом нити в некоторой ее точке М свяжем систему прямоугольных осей, определяемую единичными векторами , (рис. 142), первый из которых направлен по касательной к нити в точке М, второй — по главной нормали, третий — по бинормали. Обозначим направляющие косинусы касательной через направляющие косинусы нормали — через направляющие косинусы бинормали — через Тогда уравнения равновесия нити можно будет записать в виде

или, воспользовавшись формулами Френе — Серре

в виде

Умножая каждое из этих уравнений соответственно на и складывая, получим

Здесь первая сумма

представляет проекцию силы, отнесенной к единице длины нити, на касательную к нити в точке М. Имея в виду соотношения

перепишем полученное выше уравнение в виде

Умножая каждое из уравнений соответственно на и складывая, получим

Первая часть этого уравнения представляет проекцию силы, отнесенной к единице длины, на главную нормаль. Принимая во внимание соотношение

получим

Умножая далее уравнения соответственно на и складывая, будем иметь

откуда находим

Полученные уравнения

являются уравнениями равновесия нити в проекциях на естественные оси координат, или естественными уравнениями равновесия нити. Из первого уравнения имеем

или

Если силы допускают существование силовой функции, то последнее уравнение перепишется в виде

Интегрируя это соотношение, получим

т. е. при наличии силовой функции натяжение нити в произвольной точке М полностью определяется через координаты этой точки.

Зная форму нити и натяжение в некоторой точке, можно определить натяжение в любой другой точке нити.

Пример 60. Исследовать положение равновесия нити, к точкам которой приложены параллельные силы.

Решение. Предположим, что силы параллельны оси Тогда уравнения приобретают вид

Интегрируя первые два уравнения, получим

где произвольные постоянные. Разделив второе из полученных равенств на первое, будем иметь

откуда

где С — новая произвольная постоянная. Этому уравнению плоскости должны удовлетворять координаты всех точек нити, т. е. нить принимает форму плоской кривой.

Пример 61. Определить форму равновесия тяжелой однородной нити, закрепленной в двух произвольных точках А и В.

Рис. 143

Решение. Силы тяжести — параллельные силы, а потому нить будет расположена в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В (рис. 143). Выберем систему прямоугольных осей с началом в точке А так, чтобы ось х была расположена в плоскости нити горизонтально, а ось у направлена вертикально вверх. Координаты точки В обозначим через а и Тогда уравнения равновесия запишутся в виде

где — вес единицы длины ннтн. Интегрирование первого из этих уравнений дает

Будем предполагать, что Тогда а значит, и Подставляя найденное отсюда значение Т в последнее из уравнений получим

Здесь дифференциал дуги

и, вводя обозначение где будем иметь

или

Интегрируя это уравнение, получим

или

Обозначая через координату х точки нити, в которой касательная к нити горизонтальна, так что при , следовательно, будем иметь

Представим это уравнение в виде

Вычитая второе уравнение из первого, будем иметь

откуда, интегрируя, получим

где Если ввести новые координаты

то последнее уравнение приобретет вид

или

Последнее уравнение характеризует связь между координатами и представляет уравнение кривой, по которой располагается ннть при равновесии. Эта кривая симметрична относительно оси и называется цепиой линией. Ось называется направляющей цепной линии, а расстояние самой нижией точки нити от оси называется параметром цепной линии.

Для определения натяжения нити можно воспользоваться уравнением

откуда

Подставляя сюда значение у, находим

т. е.

Отсюда видно, что натяжеиие нити возрастает пропорционально ординатам, если за ось взята направляющая цепной линии. Если представить, что ординаты — материальные прямые, сделанные из той же нити, то можно сказать, что натяжение в каждой точке нити равно весу соответствующей ординаты.

Уравнение цепной линии

содержит три параметра которые могут быть определены из условий на концах нити. В самом деле, пусть точка В расположена выше точки А Тогда в точке А , следовательно,

или

В точке В откуда

Определяя длину нити

имеем

Полученные уравнения позволяют определить три параметра .

Покажем, что существует единственное положение равновесия нити Для этого предварительно, вводя обозначение перепишем полученные уравнения в виде

откуда

Перемножая два последних уравнения, получим

где При выражение обращается в единицу, а при возрастании а также неограниченно возрастает, т. е. при равиовесни

или

откуда

Последнее условие означает, что длина нити больше расстояния между точками А и В. Если это условие выполнено, то можио определить и, и для постоянных получается одна-единственная система значений, т. е. существует одио положение равновесия.

Пример 62. Определить условия равновесия гибкой нити, находящейся под действием центральных сил (силы, линии действия которых проходят через одну неподвижную точку — центр сил).

Решение. В рассматриваемом случае момент силы, действующей на элемент нити относительно любой оси, проходящей через центр сил, равен нулю. Принимая за начало прямоугольной системы осей центр сил, будем иметь

Умножая соответствующие уравнения равновесия нити на х, у, z и складывая, получим

Переписывая эти уравнения в виде

и интегрируя их, получим

где А, В и С — произвольные постоянные. Умножая первое из полученных уравнений на х, второе на у, третье на и складывая, находим

Полученное уравнение является уравнением плоскости, проходящей через начало координат, которому удовлетворяют координаты всех точек нити, т. е. при равновесии нить имеет фигуру плоской кривой.

Примем плоскость, в которой расположена нить, за плоскость Тогда Введем полярные координаты

тогда

и последний интеграл перепишется в виде

Предположим, что силы, действующие на нить, зависят только от координат точек приложения сил и обладают силовой функцией. Тогда из уравнения будем иметь

и задача сводится к квадратурам, В самом деле, дифференциал дуги в полярных координатах равен

поэтому интеграл можно записать в виде

или

откуда

Определив из как функцию и подставив в полученное уравнение, найдем уравнение с разделенными переменными, определяющее форму равновесия нити.