Регулярная прецессия твердого тела в случае Эйлера.

До сих пор мы рассматривали общий случай движения твердого тела, когда моменты инерции относительно трех главных осей не равны по величине. Частный случай, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является шаром не представляет интереса. Движение в этом случае сводится к чистому вращению вокруг оси, неизменно связанной с телом, что непосредственно вытекает из уравнений Эйлера. Эта ось остается неподвижной и в неподвижном пространстве и совпадает с направлением вектора момента количества движения.

Если эллипсоид инерции относительно неподвижной точки является эллипсоидом вращения (независимо от того, будет этот эллипсоид сплюснутым или вытянутым), то интегрирование уравнений движения в случае Эйлера — Пуансо доводится до конца в элементарных функциях.

Предположим, что ось неизменно связанная с твердым телом, является осью симметрии эллипсоида инерции, так что

Тогда из последнего уравнения Эйлера

следует первый интеграл

Направим неподвижную ось вдоль вектора момента количества движения а. Тогда для проекций вектора момента количества движения на ось z будем иметь

Так как вектор момента количества движения остается неизменным во все время движения, отсюда получим

Равенство говорит о том, что угол О не меняется во время движения твердого тела. Кинематические уравнения Эйлера теперь принимают вид

а проекции вектора момента количества движения:

Отсюда следует, что

и угол прецессии меняется по линейному закону

Из последнего кинематического уравнения Эйлера

находим

т. е. угол также изменяется по линейному закону

Движение твердого тела, при котором выполняются условия

называют регулярной прецессией твердого тела.

Рассмотрим некоторые свойства регулярной прецессии. Пусть вектор в представляет вектор момента количества движения твердого тела относительно начала координат (рис. 230). В случае Эйлера этот вектор сохраняет постоянное направление и постоянную величину в неподвижном пространстве. При регулярной прецессии твердого тела выполняется условие

откуда сразу следует

Обозначим проекцию вектора момента количества движения на экваториальную плоскость эллипсоида инерции через так что

Отсюда следует, что проекция угловой скорости вращения тела на экваториальную плоскость постоянна. Обозначим через а угол между векторами а и со. Тогда

откуда

или

так что

Рис. 230

Покажем теперь, что угол а не превосходит некоторого предельного значения, которое совпадает с экстремумом функции Приравнивая нулю производную от а

имеем

а экстремальное значение а определяется формулой

Пусть Тогда для симметричного тела будем иметь

откуда

Для крайних значений, которые может принимать отношение лолучим

Это значение угла а является предельным в случае регулярной лрецессии. Можно заметить, что угол О при регулярной прецессии не является произвольным. Для этого воспользуемся уравнениями движения в осях Резаля

где Эти уравнения допускают первый интеграл

и так как вектор а момента количества движения сохраняет неизменными величину и направление, то для определения угла нутации будем иметь равенство (рис. 231)

откуда после подстановки значений получим