Теорема об асимптотической устойчивости.

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию допускающую бесконечно малый высший предел, производная от которой, взятая в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения, представляет собой знакоопределенную функцию, знака противоположного с V, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Доказательство. По определению функции V и существуют такие знакоопределенные положительные функции зависящие только от координат что

для всех значений координат и времени в области Функция V удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения, т. е. по заданному числу А можно найти такое число к, что всякое движение, начинающееся внутри или на границе сферы

будет всегда оставаться внутри сферы

Пусть I — точная низшая граница функции на сфере А. Выберем к так, чтобы для начальных значений координат

выполнялось неравенство

Покажем, что не существует положительного числа а, которое было бы меньше всех значений, получаемых функцией

Действительно, если бы такое число а существовало, то в силу существования у функции V бесконечно малого высшего предела нашлось бы такое что в области

выполнялось бы неравенство

и для действительного возмущенного движения имело бы место условие

Но в замкнутой области функция имеет низший предел, который обозначим через I, так что в области будем иметь

Из уравнения

получим теперь

или

и всегда найдется такой момент когда функция V станет меньше, чем а. Мы пришли к противоречию с предположением, что во все время движения функция Будучи убывающей функцией, V затем всегда будет оставаться меньше а. Если за а примем точную низшую границу функции в области

то обязательно наступит момент, когда функция V сделается и будет оставаться меньше а. Начиная с этого момента значения переменных всегда будут оставаться в области

Следовательно, при всяких начальных возмущениях в области значения переменных с беспредельным возрастанием стремятся к нулю.

Ляпуновым были предложены теоремы о неустойчивости невозмущенного движения. Эти теоремы были обобщены Н. Г. Четаевым, предложившим теорему, более пригодную для решения технических задач.

Чтобы установить неустойчивость невозмущенного движения, достаточно найти одну траекторию возмущенного движения, не удовлетворяющую условиям устойчивости.

При исследовании неустойчивости будем рассматривать функции обращающиеся в нуль когда , может быть, на некоторой поверхности

проходящей через начало координат. Совокупность значений переменных где выполняются условия

будем называть областью Эта область может вообще меняться со временем.

Функцию назовем знакоопределенной в области если она может обращаться в нуль в этой области лишь на границе и если для произвольного всегда найдется число такое, что для всех значений координат, удовлетворяющих условию

имеет место неравенство