Метод Имшенецкого разделения переменных.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

Метод Имшенецкого разделения переменных.

Общего метода нахождения полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби не существует. При некоторых условиях оказывается возможным сравнительно просто найти полный интеграл, причем нахождение его сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной зависимой переменной каждое. Последние полностью интегрируются. Такого рода задачи называются задачами с разделяющимися переменными. Метод решения уравнений в частных производных с разделяющимися переменными был предложен русским математиком и механиком В. Г. Имшенецким (1832—1892). Этот метод обобщает известные теоремы Лиувилля и Штеккеля.

Метод Имшенецкого применим к уравнениям Гамильтона — Якоби, в которых может быть выделена одна из переменных, например после чего уравнение может быть записано в виде

Тогда полный интеграл можно представить в виде

где является решением обыкновенного дифференциального уравнения

— полный интеграл уравнения в частных производных

Такая функция V удовлетворяет уравнению Якоби и зависит от всех переменных и произвольных постоянных — полный интеграл уравнения в частных производных, поэтому определитель Гесса для функции существует и отличен от нуля, т. е.

Определитель Гесса для функции V теперь принимает вид

Он отличен от нуля, так как интеграл уравнения а это означает, что функция V действительно является полным интегралом исходного уравнения Гамильтона—Якоби

Частные случаи: 1. Координата является циклической, так что Так , а полный интеграл имеет вид

где функция — полный интеграл уравнения в частных производных

2. Функция Гамильтона Я не зависит явно от времени:

Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби запишется в виде

где функция — полный интеграл уравнения в частных производных

Пример 124. При помощи метода Гамильтона — Якобн рассмотрим движение планеты в центральном ньютоновском поле притяжения (см. рис. 251).

Выбирая за лагранжевы координаты сферические координаты для живой силы будем иметь

Силовая функция ньютоновского поля тяготения Выражая обобщенные импульсы через обобщенные скорости

и полагая получим для функции Гамильтона значение

Для определения закона движения планеты необходимо найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби

Здесь время не входит явно в функцию Гамильтона, а координата — циклическая. Поэтому полный интеграл можно искать в виде

где — постоянные; — полный интеграл уравнения в частных производных

Выделяя отсюда группу членов с переменной

полный интеграл запишем в виде

где — решения дифференциальных уравнений

Из последних уравнений находим

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона — Якоби получает вид

и зависит от переменных произвольных постоянных и аддитивной постоянной На основании теоремы Якоби общий интеграл канонических уравнений движения получим из уравнений

Вторую группу этих уравнений можно представить в виде

Первое из этих уравнений определяет как функцию времени и произвольных постоянных

Третье уравнение после подстановки дает

и, наконец, из второго имеем

Эти три уравнения полностью определяют закон движения планеты в переменных

Замечание. Определенная здесь функция V является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби, если функциональный определитель существует и отличен от нуля. Для рассматриваемой задачи этот определитель имеет вид

Подставляя сюда значение производных, получим значение определителя

Этот определитель не существует, если обращается в нуль хотя бы одно из подкоренных выражений знаменателя. Определитель обращается в нуль, если а также когда становятся нулями При этих условиях функция V перестает быть полным интегралом рассматриваемой задачи и уже не определяет первых интегралов канонических уравнений Гамильтона.

Оставшаяся группа уравнений дает систему первых интегралов уравнений движения системы:

первый из которых представляет собой закон сохранения момента количества движения относительно оси

Второй из этих первых интегралов дает закон изменения момента количества движения в подвижной плоскости, вращающейся вокруг оси z, Его можно записать в виде

или

Последний интеграл является интегралом живых сил. В самом деле,

можно переписать в виде

откуда

Подставляя сюда значение получим

чем и доказывается утверждение.

Пример 125. Теорема Лиувилля. Лиувилль показал, что уравнения движения механической системы с голоиомными идеальными связями интегрируются в квадратурах, если живая сила и силовая функция имеют вид

Доказательство. Для определения импульсов имеем уравнения

Определяя отсюда найдем выражение для функции Гамильтона:

Уравнение Гамильтона — Якобн теперь запишется в виде

Так как время не входит явно в функцию Гамильтона, то полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде

Здесь функция представляет собой полный интеграл уравнения в частных производных

которое можно переписать в виде

В последнем уравнении переменные полностью разделены, поэтому его можно переписать так:

где

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

где — решение дифференциального уравнения

так, что

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона—Якоби запишется следующим образом:

где постоянные подчинены условию

Полагая получим систему первых интегралов уравнений движения:

Пример 126. При помощи метода Гамильтона — Якоби рассмотрим общее решение задачи о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа — Пуассона (рис. 254).

Выбирая за подвижные оси координат оси, неизменно связанные с твердым телом и направленные по главным осям эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки твердого тела, живую силу твердого тела запишем в виде

а силовую функцию — в виде

Для проекций мгновенной угловой скорости на оси, неизменно связанные с твердые телом, имеем

откуда

после чего живая сила твердого тела получит вид

Рис. 254

Принимая углы Эйлера в качестве обобщенных координат, вычислим значения импульсов:

Так как связи не зависят явно от времени, функция Гамильтона будет иметь вид

или

Для решения задачи о движении достаточно найти полный интеграл уравнения Г амильтона—Якоби

Здесь время не входит явно в функцию Г амильтона, а координаты являются циклическими, поэтому полный нитеграл можно искать в виде

где фунция — решение дифференциального уравнения, которое получим подстановкой в исходное уравнение Гамильтона — Якоби вместо V его выражения

или

откуда

Для полного интеграла теперь имеем выражение

Закон движения твердого тела определится системой первых ннтегралов:

которые сводят задачу к эллиптическим квадратурам Исследование таких квадратур было подробно проведено выше.

Пример 127. Рассмотрим в качестве примера движение частицы массы с электрическим зарядом в электромагнитном поле, считая вектор напряженностью электрического поля, а вектор напряженностью магнитного поля.