§ 1. ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определения.

При изучении движения твердого тела существенную роль играет распределение масс в твердом теле, характеризующееся, в частности, величинами моментов инерции. Понятие момента инерции впервые ввел Христиан Гюйгенс (1629—1695) при исследовании колебаний физического маятника, после чего это понятие исследовалось Эйлером, Пуансо и другими учеными.

Рассмотрим систему материальных точек с массами расположенных некоторым образом относительно осей х, у, z (рис. 212). Обозначим через расстояние точки до некоторой плоскости проходящей через начало координат. Величину

будем называть моментом инерции системы материальных точек относительно плоскости Обозначим через расстояние точки до прямой лежащей в плоскости и проходящей через начало координат, а через — расстояние точки до начала координат. Величины

будем называть соответственно моментами инерции системы материальных точек относительно прямой I и относительно начала координат.

Выделяя среди всех прямых и плоскостей, проходящих через начало координат, координатные оси и плоскости, для моментов инерции относительно координатных плоскостей будем иметь значения

а для моментов инерции относительно координатных осей:

Момент инерции относительно начала координат запишется в виде

Справедливы следующие очевидные соотношения:

Величины моментов инерции относительно координатных осей не могут быть выбраны произвольно и всегда связаны очевидными соотношениями

Все выписанные формулы имеют место для случая дискретного распределения масс. Для сплошных сред формулы получаются в интегральной форме путем предельного перехода.

Рис. 212

Рис. 213

Так, например, при вычислении момента инерции твердого тела последнее предполагают разбитым на элементарные объемы каждый из которых имеет координаты х, у, z и массу где — плотность элементарного объема Тогда суммы вида или переходят в тройные интегралы или распространенные на объем, занятый телом. В конкретных случаях вычисления иногда можно значительно упростить, сведя к линейным интегралам.

Пример 108. Вычислить момент инерции тонкого однородного сплошного диска радиуса а и плотности относительно его оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска.

Для элементарного слоя (рис. 213) имеем

откуда

где — масса диска.

При мер 109. Определить момент инерции однородного сплошного шара радиуса и плотности относительно его диаметра.

Решение. Для элементарного шарового слоя момент инерции относительно центра шара

Момент инерции всего шара относительно его центра

Масса шара так что

Момент инерции относительно любой диаметральной плоскости

Момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через его центр

Пример 110. Определить момент инерции однородного сплошного эллипсоида относительно его главных осей.

Уравнение эллипсоида, отнесенное к его главным осям, имеет вид

Формула для момента инерции тела относительно плоскости дает

Здесь интеграл распространен на объем, занятый эллипсоидом. Выполняя преобразование к новым переменным

получим

и уравнение эллипсоида переходит в уравнение шара

Интеграл

берется по объему, занятому шаром, и представляет собой момент инерции однородного сплошного шара плотности относительно плоскости

Отсюда

где М — масса эллипсоида. Аналогично находим

Теорема Гюйгенса — Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями.

Доказательство. Пусть имеется система материальных точек с центром масс в точке и пусть положение точек определено по отношению к осям координат

Рис. 214

Рис. 215

Обозначим координаты центра масс системы через с и свяжем с центром масс систему осей параллельных соответственно осям х, у, z (рис. 214). Координаты связаны формулами преобразования

Вычисляя момент инерции относительно оси будем иметь

Так как точка является центром масс системы, то

Вводя обозначение

получим

или

где — момент инерции относительно оси — расстояние между осями z и

Следствие. Если имеется система параллельных осей, то та из осей, для которой момент инерции имеет наименьшее значение, проходит через центр масс системы.