7. Уравнения Рауса.

Раньше других для исследования движения механической системы с неголономными связями были применены уравнения Рауса со множителями. Эти уравнения применимы как для систем с голономными, так и с неголономными связями.

Будем предполагать, что на систему материальных точек действуют активные силы и наложены голономные связи, так что положение системы определяется

координатами а декартовы координаты выражаются через эти координаты:

Пусть, кроме того, на систему наложены неголономные связи

тогда число независимых координат будет равно . Для вывода уравнений движения системы материальных точек применим метод неопределенных множителей Лагранжа Дифференцируя уравнения получим

где не являются независимыми. Применяя теперь принцип Даламбера — Лагранжа

заметим, что вариации декартовых координат можно выразить через зависимые вариации

на которые наложены условия

Подставляя в уравнение Даламбера — Лагранжа вариации декартовых координат после преобразований представим его в виде

Сюда нужно еще добавить уравнения связей

которые предполагаются независимыми, так что матрица

составленная из коэффициентов уравнений связи, имеет по крайней мере один отличный от нуля определитель -ного порядка. Умножая уравнения связей на неопределенные пока множители и добавляя результат к уравнению Даламбера — Лагранжа, получим

Множители подберем так, чтобы уничтожались все коэффициенты при зависимых вариациях т. е.

Тогда в уравнении останутся лишь независимые вариации Равенство может выполняться при произвольных только в том случае, когда все коэффициенты при независимых вариациях обращаются в нуль, т. е.

К этим уравнениям можно еще добавить уравнений связи . В результате будем иметь уравнений для определения неизвестных Число полученных уравнений превосходит число независимых параметров Задача решается путем исключения лишних неизвестных.

Другие методы составления уравнений движения для систем с неголономными связями в нашем курсе рассматриваться не будут, хотя в настоящее время имеется несколько других способов исследования систем с неголономными связями.

Пример 131. В качестве примера составим уравнения движения однородного шара, катающегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости, предполагая, что на шар юроме силы тяжести действуют еще и другие активные силы, уточнять характер которых мы не будем.

Обозначим через центр тяжести шара. Пусть — оси Кёнига, а х, у, z — оси, неизменно связанные с шаром и имеющие начало в центре шара.

Положение шара можно определить пятью координатами: двумя координатами центра масс и углами Эйлера Проекции мгновенной угловой скорости шара на оси Кёнига будут иметь вид (рис. 258)

Рис. 258

Точку касания шара с горизонтальной плоскостью обозначим через Р. Ее координаты в системе Кёнига суть (0, 0, —а). Так как проскальзывание отсутствует, то абсолютная скорость точки касания Переносная скорость точки касания имеет проекции Проекции относительной скорости определяются из матрицы

откуда имеем

Окончательно уравнения связи после подстановки значений приобретают вид

Эти уравнения неинтегрируемы, т. е. связи неголономны. Поэтому мы не можем воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода для исследования движения этой системы. Чтобы применить уравнения Рауса, составим сначала выражение для живой силы

где А — момент инерции шара относительно его диаметра. Уравнения Рауса запишутся теперь в виде

где — обобщенные силы.

Мы получили систему, состоящую из пяти уравнений для определения семи неизвестных величин . К ней необходимо присоединить еще два уравнения связей. При определении обобщенных сил параметры следует рассматривать как независимые. Подсчитав при этом условии работу всех сил на произвольном возможном перемещении, обобщенные силы получим обычным образом как коэффициенты при вариациях . В частном случае, когда на шар действуют активные силы, приложенные только к центру масс, с проекциями на неподвижные оси X и Y, будем иметь:

Замечание. Рассмотренный здесь пример можно решать и при помощи уравнений Аппеля. При определении энергии ускорений следует применить теорему, аналогичную теореме Кёнига для живой силы, которая без труда распространяется и на энергию ускорений.