Прямой метод Ляпунова

Заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия.

В области

будем рассматривать функции вещественных переменных однозначные, непрерывные, дифференцируемые и уничтожающиеся При

Определения. 1. Функция которая в области может принимать значения только одного знака, называется знакопостоянной функцией.

2. Функцию которая при сколь угодно малых значениях в области может принимать значения как положительные, так и отрицательные, будем называть знакопеременной функцией.

3. Функцию зависящую только от координат и не зависящую явно от времени, принимающую в области значения лишь одного знака и обращающуюся в нуль лишь при будем называть знакоопределенной функцией.

4. Функция называется знакоопределенной, если возможно найти такую знакоопределенную положительную функцию зависящую лишь от координат которая удовлетворяет в области условиям

5. Будем говорить, что функция допускает бесконечно малый высший предел, если для всякого положительного числа I, как бы мало оно ни было, найдется другое число такое, что в области

функция V удовлетворяет неравенству

Этому требованию, в частности, удовлетворяет всякая непрерывная, не зависящая от времени функция

Теорема Ляпунова. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения

таковы, что можно найти знакоопределенную функцию производная от которой взятая в силу системы дифференциальных уравнений возмущенного движения

была бы знакопостоянной функцией, знака противоположного с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво

Доказательство. Покажем, что существование функции V, удовлетворяющей условии теоремы, дает возможность по заданным числам А найти соответствующие числа К, удовлетворяющие определению устойчивости.

Пусть V — знакоопределенная положительная функция, а — знакопостоянная отрицательная или тождественно равная нулю функция в области и пусть — некоторое произвольное положительное число. Тогда существует знакоопределенная функция такая, что

Рассмотрим сферу

и обозначим через I минимум функции на сфере А. Тогда поверхность 1 не будет выходить за пределы сферы А. Рассмотрим функцию зависящую только от переменных

и начального значения времени Такая функция допускает бесконечно малый высший предел, т. е. найдется такое число к, что в области

будет выполнятся условие

Выберем теперь начальные значения координат так, чтобы имело место неравенство

Тогда

Обозначим производную от функции V через V, т. е.

Интегрированием получим

Из условия следует

но тогда

т. е. для всех выполняется неравенство

На сфере функция удовлетворяет неравенству Следовательно, координаты во все время движения не будут удовлетворять уравнению поверхности сферы А, и возмущенное движение будет оставаться внутри сферы

Этим доказана теорема Ляпунова об устойчивости движения.

Замечание. Если не зависящие от времени первые интегралы уравнений движения являются голоморфными функциями координат и скоростей и можно так подобрать числа чтобы разложение функции

начиналось бы со знакоопределенной квадратичной формы, то функция V будет удовлеторять условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения.

Пример 137. Методом Ляпунова докажем теорему Лагранжа об устойчивости равновесия системы материальных точек.

Пусть на систему наложены идеальные, голономные и не зависящие явно от времени связи. Движение такой системы будет определяться системой уравнений

частным решением которой является положение равновесия системы

Уравнения движения в сделанных предположениях допускают существование интеграла живых сил

Если функция в положении равновесия имеет изолированный максимум, то она является знакоопределениой отрицательной функцией переменных в некоторой окрестности положения равновесия системы. Живая сила системы по самому определению является знакоопределенной положительной функцией относительно обобщенных скоростей Поэтому функция

будет знакоопределениой положительной функцией от переменных

Производная от функции V, взятая в силу системы дифференциальных уравнений движения, тождественно равна нулю

так как V — первый интеграл уравнений движения. Поэтому функция V удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения, и положение равновесия системы будет устойчиво.

Теорема Ляпунова дает только достаточные условия устойчивости движения. Самым трудным местом в использовании теоремы является вопрос о построении функции Ляпунова.

Определение. Невозмущенное движение будем называть асимптотически устойчивым, если оно удовлетворяет условиям устойчивости и, кроме того, если всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически при так, что