5. Интеграл живых сил.

В ряде случаев силы природы, которые могут быть представлены как функции только координат, обладают свойством консервативности, заключающимся в том, что работа, совершаемая этими силами при переносе материальной точки из одного места пространства в другое, не зависит от пути, по которому совершается перенос, а зависит только от положения начальной и конечной точек переноса. Математически это свойство выражается в том, что силы имеют силовую функцию. Условие существования силовой функции заключается в том, что величина элементарной работы

представляет собой полный дифференциал от некоторой функции координат так что

откуда

Таким образом, силовая функция есть такая функция координат, частные производные от которой по координатам равны проекциям действующей силы на соответствующие оси координат.

Дифференцируя уравнение по 2, а уравнение получим

откуда на основании свойств частных производных

Аналогично можно получить равенства для других координат. Будем иметь

Для существования силовой функции необходимо, чтобы компоненты данной силы по осям координат удовлетворяли выведенным соотношениям.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся примеры сил, для которых существует силовая функция.

а) Сила постоянная по величине и по направлению.

К этой категории сил относится и сила тяжести. Направим ось параллельно линии действия силы в сторону, противоположную направлению силы. Тогда для проекций силы на оси координат будем иметь

Выражение работы силы на произвольном перемещении является полным дифференциалом функции

откуда

б) Сила ньютоновского притяжения к неподвижному центру.

Поместим начало координат О в притягивающем центре. Тогда для компонентов силы будем иметь

где масса материальной точки; постоянная тяготения; Работа такой силы на произвольном перемещении имеет вид

Это выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции т. е.

откуда, проинтегрировав, найдем

Это и есть силовая функция ньютоновского притяжения.

в) Сила притяжения, пропорциональная расстоянию точки от неподвижного центра (упругая сила).

Проекции этой силы на координатные оси, имеющие начало в центре притяжения, имеют вид

Работа силы на произвольном перемещении

откуда

интегрируя, находим

Рассмотрим некоторые свойства силовой функции. Приравнивая силовую функцию постоянной величине, получим уравнение

где С — произвольная постоянная. Это уравнение определяет поверхность, которая называется поверхностью уровня. Изменяя значение постоянной величины С, получим семейство поверхностей уровня. Покажем, что действующая сила всегда направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции

Действительно, так как проекции силы X, Y, Z пропорциональны направляющим косинусам силы, а частные производные пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности уровня, и сами величины попарно равны друг другу, то и направление силы совпадает с направлением нормали. Рассматривая элементарную работу силы

заметим, что эта работа положительна на перемещении, направленном в сторону действия силы; функция же в этом случае возрастает. Утверждение доказано.

Если существует силовая функция, то теорема живых сил записывается в виде

откуда сразу следует первый интеграл

который называют интегралом живых сил. Постоянная живых сил представляет собой полную механическую энергию материальной точки и определяется из начальных условий

Если вместо функции ввести функцию , то

Функцию V называют потенциальной функцией. Она измеряет потенциальную энергию материальной точки. Интеграл живых сил теперь можно переписать в виде

т. е. если сила, действующая на материальную точку, имеет силовую функцию, то во все время движения материальной точки сумма кинетической и потенциальной энергий материальной точки остается постоянной. В этом заключается закон сохранения механической энергии материальной точки.

В физике существует закон, управляющий всеми явлениями природы, который называется законом сохранения энергии. В теоретической механике мы ограничиваемся только механическими движениями и не касаемся других форм движения. Поэтому в механике может вообще и не существовать закона сохранения энергии. Интеграл живых сил не имеет места, если не существует силовой функции. Чтобы записать закон сохранения энергии при неконсервативных силах, надо кроме механической принимать во внимание и другие виды энергии, например тепловую, электрическую и т. п. Все эти виды энергии не рассматриваются в курсах теоретической механики.

Замечания. 1. В некоторых случаях силы, действующие на материальную точку, постоянно остаются нормальными к траектории этой точки. Работа таких сил на действительном перемещении точки равна нулю, и говорят, что силы не производят работы.

В приложениях теоремы живых сил следует учитывать лишь те силы, которые совершают работу на действительном перемещении точки, не обращая внимания на остальные.

2. Теорема живых сил зачастую позволяет выполнить качественный анализ движения материальной точки. В самом деле, предположим, что на точку действуют силы, обладающие силовой функцией , и что существует интеграл живых сил

Величина - всегда отлична от нуля и положительна, если только точка не находится в покое и, следовательно, в действительном движении точки всегда выполняется условие

Это неравенство определяет область возможных движений материальной точки. Такая область зависит как от вида функции так и от величины определяемой из начальных условий.

Пример 65. На материальную точку действует сила, обладающая силовой функцией Исследовать область возможного движения точки.

Решение. Положение равновесия точки определяется условием, что проекции силы на оси координат равны нулю, т. е.

Таким положением в рассматриваемом случае является только начало координат. Область возможных движений точки около положения равновесия определяется неравенством

и представляет шар радиуса

чем меньше величина тем больше радиус шара.