Линейные интегральные инварианты.

Пуанкаре предложил рассматривать интегральные инварианты, распространяющиеся на многообразия меньшего числа измерений, чем порядок системы. Многообразием, имеющим наименьшее число измерений, является линия. Если многообразие, на котором определяется инвариант, является замкнутым многообразием, то интеграл называют относительным интегральным инвариантом. Интегральный инвариант, распространенный по замкнутой линии, является относительным интегральным инвариантом.

Из формулы Стокса преобразования интеграла по замкнутому контуру в поверхностный интеграл

следует, что каждому относительному интегральному инварианту соответствует абсолютный интегральный инвариант второго порядка.

Рассмотрим линейный интегральный инвариант для системы канонических уравнений Гамильтона

Покажем, что интеграл

распространенный на замкнутую линию фазового пространства, является линейным инвариантом канонических уравнений Гамильтона.

Пусть

есть некоторое частное решение канонических уравнений Гамильтона, определяемое начальными значениями координат и импульсов, и пусть всюду выполняется условие

Тогда замкнутой линии будет соответствовать в начальный момент замкнутая линия Последнюю можно представить параметрически уравнениями

а линию уравнениями

Для определения инвариантности интеграла достаточно рассмотреть производную и показать, что она всюду равна нулю. При этом дифференцирование по не затрагивает изменения параметра т. Для удобства введем обозначение дифференцирования по параметру в виде

и перепишем интеграл в виде

Тогда

где штрихом обозначена производная по Интегрирование по частям дает

поэтому

где удовлетворяют кононическим уравнениям Гамильтона. В результате имеем

чем и доказывается утверждение. Интегральный инвариант

называют линейным инвариантом Пуанкаре.