§ 1. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи, полностью определяется уравнениями Лагранжа второго рода

Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных величин

Они могут быть легко разрешены относительно старших производных от функций Действительно, функция Лагранжа может быть представлена, как сумма трех однородных функций относительно обобщенных скоростей

где причем, как было показано выше, является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей Пусть

где — функции только координат и времени. Тогда

поэтому уравнения Лагранжа второго рода могут быть записаны в виде

Заметим, что определитель, составленный из коэффициентов при старших производных уравнений Лагранжа

равен дискриминанту однородной квадратичной формы который не равен нулю тождественно. В самом деле, если связи, наложенные на систему, не зависят явно от времени, то имеют место равенства

По определению, живая сила Т отлична от нуля, если хотя бы одна точка системы не находится в покое, поэтому Т и являются знакоопределенными квадратичными формами, так как система будет двигаться только тогда, когда отлична от нуля хотя бы одна из обобщенных скоростей системы.

В общем случае, когда связи зависят явно от времени, т. е. выполняются условия

живая сила является уже суммой трех однородных относительно обобщенных скоростей форм, т. е.

где, как уже было показано,

Форма представляет собой живую силу воображаемого движения той же системы, происходящего при мгновенно остановленных (замороженных) связях. В последнем случае живая сила этого воображаемого движения

По определению, живая сила системы обращается в нуль только тогда когда равны нулю скорости всех точек системы. Для мгновенно остановленных связей имеют место зависимости

и обращение в нуль всех скоростей влечет за собой обращение в нуль всех обобщенных скоростей. Поэтому квадратичная форма Т оказывается положительно определенной квадратичной формой. В силу того, что форма Т в каждый момент времени совпадает с формой последняя тоже будет положительно-определенной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, а ее коэффициенты удовлетворяют известным критериям Сильвестра, выражающим положительность дискриминанта квадратичной формы т. е.

вместе со всеми диагональными минорами. При выполнении этих условий система уравнений Лагранжа второго рода может быть разрешена относительно старших производных.

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833).