Глава I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ
Многие физические величины имеют не только числовое значение, но еще и направление. Такие величины принято называть векторами. Они имеют большое значение в механике. В то время как в математических курсах обычно изучаются только свободные векторы, в механике, кроме того, применяются векторы скользящие и закрепленные.
Векторное исчисление впервые возникло благодаря потребностям механики и физики. Понятие векторной величины в механику ввел, по-видимому, голландский математик и инженер Стевин, установивший закон сложения сил по правилу параллелограмма, хотя аналогичный закон сложения сил уже был известен Архимеду. Окончательное развитие векторное исчислеиие получило лишь в XIX в. в работах У. Р. Гамильтона (1805—1865), Г. Грассмана (1809—1877) и Р. Болла по гиперкомплексным числам и теории кватернионов, а также казанского математика А. П. Котельникова (1865—1944), разработавшего теорию винтового исчисления и приложившего ее к механике.
При изучении различных физических величин, характеризующих состояния движения материальных тел, эти величины определяются в некоторой определенной системе координат или системе отсчета. Для определения вектора будем в дальнейшем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат Oxyz. Различают два рода прямоугольных координат: правую (английскую) и левую (французскую). Правую и левую системы координат можно отличать следующим образом: большой, указательный и средний пальцы правой или левой руки, в том порядке, как мы их называем, осуществляют соответственно правую или левую систему. Можно также сказать, что в правой системе вращение от оси х кратчайшим образом к оси у вокруг оси z происходит против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси z.
Физические величины можно разделить на две существенно различные категории: скалярные и векторные. Скалярные величины имеют лишь числовое значение. Те же физические величины, которые кроме числового значения характеризуются еще и направлением, называются векторными. Векторную величину изображают направленным отрезком, длина которого, измеренная в определенном масштабе, равна числовому значению этой физической величины, а направление стрелки указывает направление ее действия (рис. 1). Примерами скалярных величин являются температура, масса, плотность, энергия. Величины эти могут иметь различное значение в каждой точке пространства, но они не обладают направлением, а лишь определяют некоторые физические характеристики в данной точке пространства. Такие же физические величины, как скорость, сила и т. п., характеризуются не только числовым значением, но и направлением действия.
Рис. 1
Отвлекаясь сначала от физического содержания, будем рассматривать абстрактные векторные величины. Векторную величину обозначим направленным отрезком АВ. Точку А назовем началом или точкой приложения вектора (рис. 1). Точку В будем называть концом вектора. Продолжая неограниченно в обе стороны отрезок АВ, получим прямую, которая называется линией действия вектора. Каждый вектор определяется линией действия, стороной и точкой приложения.
Аналитически вектор можно определить координатами его начала и конца относительно декартовой системы координат или координатами точки приложения и проекциями отрезка АВ на координатные оси. Знаки проекций при этом определяются обычными правилами аналитической геометрии (рис. 1).
Все векторы подразделяются на три категории: свободные, скользящие и связанные (закрепленные) вектора.
Свободными векторами представляются векторные физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Такой вектор характеризует физическую величину во всем исследуемом пространстве. Так, при поступательном движении твердого тела скорости в каждой точке тела равны между собой по величине и по направлению. Скорость такого движения твердого тела задается одним свободным вектором.
Скользящие векторы представляют собой векторные величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора и изменяющиеся при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия. Например, сила, приложенная к
точке А твердого тела, сообщит последнему вполне определенное движение из данного его состояния. Такое же движение сообщит эта сила, будучи приложенной к произвольной точке В, расположенной на той же линии действия. Но если эту же силу приложить к точке С твердого тела, не принадлежащей данной линии действия, она сообщит телу уже совсем иное движение. Таким образом, по своему действию на твердое тело сила должна рассматриваться как скользящий вектор.
Закрепленные векторы представляют векторные физические величины только в данной точке пространства. В других точках пространства они либо имеют уже другое значение, либо вообще теряют смысл. Такими векторами являются, например, вектор скорости движущейся материальной точки и вектор силы, приложенной к деформируемому телу.
Рассмотрим последовательно эти три категории векторов и изучим их свойства.
