3. Следствия из теорем об изменении количества движения и момента количества движения материальной точки.

1. Если сила, действующая на материальную точку, во все время движения остается параллельной неизмененному направлению, то точка будет совершать движение, оставаясь в плоскости, параллельной линии действия силы.

В самом деле, пусть Тогда два первых уравнения движения получат вид

Откуда будем иметь два первых интеграла

Разделив первое из этих уравнений на второе, будем иметь

откуда

Полученному уравнению плоскости удовлетворяют координаты точки во все время ее движения. Такое движение называют плоским движением материальной точки.

2. Пусть линия действия силы, действующей на материальную точку, в каждый момент времени проходит через начало координат некоторой неподвижной системы осей. Такая сила называется центральной. Тогда будет иметь место теорема.

Теорема. Если на точку действует центральная сила, то движение точки происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы.

Доказательство. Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения, которая при данных условиях приобретает вид

и дает первый интеграл (закон сохранения момента количества движения)

Этому векторному интегралу соответствуют три скалярных интеграла в проекциях на неподвижные оси

Умножая последние уравнения соответственно на и складывая, получим соотношение

которое представляет собой уравнение плоскости, проходящей через начало координат. Координаты точки во все время движения должны удовлетворять этому уравнению.

Замечание. Случай параллельных сил можно рассматривать как частный случай центральных сил, когда центр сил удален в бесконечность.

3. Рассмотрим случай, когда момент силы, действующей на точку, относительно оси тождественно равен нулю

Тогда из теоремы об изменении момента количества движения получаем первый интеграл

или

Рис. 145

Этот первый интеграл допускает простую геометрическую интерпретацию, а именно: пусть — проекция движущейся точки на неподвижную плоскость в момент (рис. 145) и — проекция этой точки на ту же плоскость в момент Обозначая координаты точки через рассмотрим сектор ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами Площадь этого сектора, отсчитываемая в направлении положительного вращения вокруг оси

откуда

откуда

Мы получили теорему, именуемую теоремой площадей.

Теорема площадей. Если то в плоскости в равные промежутки времени радиус-вектор проекции точки описывает равные площади.

Величина называется секторной скоростью проекции материальной точки на плоскость а выражение

представляет собой удвоенную секторную скорость проекции точки т. Таким образом, если то секторная скорость проекции на плоскость — величина постоянная. Нетрудно показать,

что если положение проекции точки определить полярными координатами то удвоенную секторную скорость можно будет представить в виде

Если то, как это уже отмечалось, будет существовать векторный интеграл

или три скалярных:

Если ось направить вдоль вектора а, то и точка в своем движении будет оставаться в плоскости определяемой направлением скорости в какой-либо момент времени.

4. Можно доказать обратную теорему площадей. Теорема. Если материальная точка движется по плоской траектории так, что ее радиус-вектор описывает около некоторого центра О, расположенного в этой же плоскости, площади, пропорциональные промежуткам времени, то движение происходит под действием центральной силы, линия действия которой проходит через центр О.

Доказательство. Выбрав центр О за начало неподвижной системы координат и направив ось ортогонально к плоскости траектории, будем иметь

Дифференцируя эти уравнения, получим

Переписав последнее уравнение в виде

и принимая во внимание, что подставим сюда значения проекций ускорения из дифференциальных уравнений движения точки. В результате получим

откуда видно, что вектор силы, действующий на точку, лежит в плоскости и коллинеарен с радиус-вектором точки, т. е. сила — центральная.