3. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре.

При выводе уравнений движения из принципа Гамильтона предполагалось, что независимыми являются только координаты Обобщенные скорости и импульсы предполагались зависимыми. Относительно вариаций координат предполагалось: а) вариации обращаются в нуль на концах интервала времени (при ), б) вариации произвольны и независимы внутри интервала . Французский математик и механик А. Пуанкаре

(1854—1912) заметил, что если уравнения Гамильтона рассматривать как некоторый критерий действительного движения, то принципу Гамильтона можно будет дать несколько иную трактовку, считая, что при переходе с одной окольной траектории на другую независимыми являются не только вариации координат, но и вариации импульсов. Справедливость такого утверждения может быть доказана, если при выполнении условий: а) на концах интервала обращаются в нуль вариации координат и импульсов

б) внутри интервала вариации координат и импульсов произвольны и независимы, из принципа Гамильтона будут следовать уравнения движения механической системы. Для большей наглядности введем в рассмотрение расширенное фазовое пространство переменных — координат импульсов и времени Каждая точка этого пространства отвечает некоторому состоянию движения механической системы. С точки зрения Пуанкаре можно рассматривать новую вариационную задачу, в которой все траектории сравнения начинаются в одной и той же точке расширенного фазового пространства и оканчиваются в некоторой другой точке этого пространства. Но так как заданные начальные условия полностью должны определять траекторию системы, произвольно выбранная вторая точка может вообще оказаться не на действительной траектории. Поэтому вариационная задача имеет смысл только тогда, когда обе точки лежат на одной действительной траектории. Кроме того, в новых переменных функция Лагранжа в соответствии с преобразованиями Лежандра Гамильтона имеет вид

где величины выражаются через координаты и импульсы при помощи преобразований

Последнее условие, очевидно, должно иметь место и для всех траекторий сравнения.

Записывая принцип Гамильтона в форме

и производя варьирование подынтегральной функции

после интегрирования по частям выражения

где представим принцип Гамильтона в виде

В сделанных выше предположениях интеграл обращается в нуль, если равны нулю все коэффициенты при независимых вариациях т. е. если выполняются равенства

вдоль действительной интегральной кривой. Последние же представляют собой канонические уравнения Гамильтона, что и доказывает справедливость принципа Гамильтона в форме Пуанкаре.

Геометрическое представление движения в пространстве измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что являются ортогональными координатами -мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки -мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины и как функции времени и по стоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения координат фазового пространства в момент Рассматривая координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих -мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную).

Геометрическая картина движения аналогична картине движения жидкости. Рассмотрим движение жидкости в обычном

трехмерном пространстве. Это движение можно описывать различными способами. Метод Лагранжа изучает движение жидкости в объеме, метод Эйлера рассматривает движение жидкости в каждой точке пространства. В первом случае координаты точек являются функциями начальных значений этих координат и времени:

Во втором рассматриваются характеристики в определенных точках пространства:

Так, скорость точки равна

Гидродинамическая картина полностью переносится на фазовое пространство, но вместо трех координат х, у, z здесь имеется координат