§ 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В ДЕКАРТОВЫХ ОСЯХ

В динамике точки рассматриваются две основные задачи:

1. На материальную точку действует сила, определенная в каждой точке пространства. Требуется определить движение материальной точки, происходящее под действием этой силы.

2. В некоторой системе отсчета задано движение материальной точки. Требуется определить силу или силы, под действием которых происходит это движение.

Чтобы пояснить сущность первой из этих задач, рассмотрим уравнение Ньютона

где — ускорение точки в некоторой неподвижной системе координат. Будем предполагать, что сила F, действующая на материальную точку, определена в этой системе отсчета. За неподвижную систему отсчета выберем систему прямоугольных осей (все дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и по отношению к любой инерциальной системе). Вектор ускорения будет иметь проекции на указанные оси координат. Обозначим проекции силы на эти же оси координат через X, Y, Z. Из равенства векторов F и непосредственно следует равенство их проекций, откуда получаем три скалярных уравнения движения

которые назовем уравнениями движения в проекциях на декартовы оси координат. Впервые эти уравнения были получены Маклореном (1698—1746).

В общем случае силу, действующую на материальную точку, всегда можно представить как функцию времени, координат точки и ее скорости, т. е.

В каждом конкретном движении сила может рассматриваться как функция времени. В самом деле, если известен закон движения, т. е. известны координаты точки как функции времени

то, определяя из уравнений движения проекции силы на декартовы оси координат и подставляя значения взятые из закона движения, будем иметь

Иногда удобнее выразить правые части уравнений движения как функции только координат точки. Пусть, например, уравнение

может быть разрешено относительно

Тогда вторая производная от х представится в виде

Например, если то откуда

Определять силу в функции только времени не всегда удобно при решении задач о движении, поэтому в общем случае силы представляют как функции времени, координат и скорости.

Можно представлять силы и как функции ускорения точки. Но тогда эти силы уже не будут определять ускорение, т. е. не будут ускоряющими в смысле Ньютона. Для такого класса сил может быть построена механика, отличная от механики Ньютона.

Если действующие на точку силы заданы, то уравнения движения

представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций х, у, z и общий интеграл этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных

В каждой конкретной задаче эти постоянные определяются из начальных условий, для чего должны быть заданы в начальный момент начальное положение и начальная скорость точки. Задача определения констант по заданным величинам сводится к разрешению системы уравнений

относительно Для шести произвольных постоянных получим

и если выполнены условия существования и единственности, то каждой системе начальных значений координат и скоростей будет отвечать одно движение.

Для определения констант си могут быть приняты и другие, так называемые граничные условия (предложенные Гамильтоном). Они сводятся к тому, что рассматривается положение материальной точки в два различных момента времени

и из этих условий определяются значения произвольных постоянных интегралов.

Вторая задача, задача определения силы по данному движению материальной точки, требует задания структуры силы, так как ускорение точки представляется и как функция времени, и как функция координат и скорости точки.