6. Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Уравнения Аппеля.

В начале XIX в. получил большое развитие метод обработки наблюдений — метод наименьших квадратов. В аналитической механике этот метод приводит к новому общему принципу. В 1829 г. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) опубликовал свой знаменитый мемуар, в котором предложил доказательство принципа наименьшего принуждения. Это была единственная работа Гаусса по аналитической механике. Как замечает сам Гаусс, каждый новый принцип вносит новую точку зрения на законы природы. По мнению Гаусса, его принцип имеет то преимущество, что обнимает одинаковым образом как законы движения, так и законы покоя.

Доказательство принципа, которое дает Гаусс, не содержит явного выражения вида связей. (Это доказательство приводится во втором томе аналитической механики Лагранжа.) По-видимому, Болотов первым обратил внимание на необходимость строгого определения понятия возможного перемещения при распространении принципа Гаусса на системы с неголономными связями. Болотов рассматривал линейные неголономные идеальные связи. Позднее Н. Г. Четаев распространил принцип Гаусса на нелинейные неголономные связи.

Рассмотрим систему материальных точек на которые действуют активные силы и наложены идеальные, вообще неголономные связи вида

где через обозначены производные по времени от соответствующих координат, а коэффициенты и являются функциями времени и координат точек системы.

Наиболее общим принципом динамики, позволяющим отбирать действительные движения среди возможных, является принцип

Даламбера — Лагранжа, аналитическая запись которого имеет вид

Определим возможные перемещения системы при неголономных связях как перемещения, удовлетворяющие условиям

Эти условия, очевидно, содержат в себе и определение возможного перемещения для голономных связей. Возможные перемещения стеснены условиями связей, так что независимых перемещений будет .

Координаты точек механической системы в действительном движении изменяются в соответствии с наложенными на систему связями. В этом смысле координаты системы тождественно удовлетворяют условиям связи. Дифференцируя по времени уравнения связи, будем иметь

где представляют совокупность членов, не зависящих от ускорений.

Характер движения системы из заданного положения зависит от активных сил, действующих на эту систему. Силы эти сообщают ускорения точкам системы. Ускорения стеснены наложенными на систему связями.

Изменяя для данного состояния системы действующие силы, будем изменять ускорения точек системы, оставляя неизменными в данный момент координаты и скорости.

Мыслимыми движениями системы будем называть такие движения, которые может совершать система при наложенных на нее связях, если изменять действующие на систему силы. Действительное движение всегда будет одним из мыслимых. Обозначая через ускорения точек системы в мыслимом движении, получим следующие условия для мыслимых движений:

где координаты и скорости те же, что и в действительном движении. Вычитая уравнения из уравнений получим

откуда видим, что разности ускорений действительного и мыслимого движений удовлетворяют тем же условиям, что и возможные перемещения системы. Это значит, что среди возможных перемещений системы найдутся перемещения, пропорциональные разностям ускорений, т. е.

Освободим систему от последних связей и будем предполагать, что движение этой системы стеснено уже связями

Движение такой освобожденной системы, которое она будет совершать под действием сил (тех же сил, что и в действительном движении) будем называть действительным освобожденным движением. Обозначим через ускорения точек в действительном освобожденном движении. Ускорения эти подчинены условиям

В соответствии со связями возможные перемещения для освобожденного движения будут удовлетворять условиям

Среди возможных перемещений освобожденной системы будут находиться и возможные перемещения неосвобожденной системы, среди которых есть перемещения, пропорциональные разностям ускорений действительного и мыслимого движений. Следовательно, и среди возможных перемещений освобожденной системы найдутся перемещения, пропорциональные разностям ускорений действительного и мыслимого движений, т. е.

Как уже отмечалось выше, движение системы с идеальными связями подчиняется принципу Даламбера — Лагранжа, математическое выражение которого имеет вид уравнения

Этот принцип справедлив при любых возможных перемещениях. Следовательно, он будет справедлив и при перемещениях, определяемых равенствами после подстановки которых получим

А так как принцип Даламбера — Лагранжа справедлив и для освобожденных систем, то будем иметь

В этом случае, принцип справедлив снова для любых возможных перемещений, а следовательно, и для перемещений Подстановка этих перемещений в последнее уравнение дает

Вычитая теперь из получим

Полученное соотношение дает возможность сравнивать действительные движения системы с освобожденными и мыслимыми. Предварительно выполним некоторые преобразования вида

вместе с аналогичными преобразованиями для координат у и z. В результате будем иметь

Если теперь ввести обозначения

то равенство можно будет переписать в виде

где каждое из слагаемых неотрицательно. Отсюда следуют два условия

Первое из этих условий утверждает, что отклонение действительного движения от любого из мыслимых не больше, чем отклонение освобожденного движения от мыслимого. Второе неравенство (неравенство Э. Маха (1838-1916))

представляет собой обобщение принципа наименьшего принуждения Гаусса, которому можно придать следующую формулировку: Действительным является то из мыслимых движений, для которого отклонение от освобожденного двиокения принимает наименьшее значение.

Рассмотрим независимые ускорения Сравнивая мыслимые движения с действительным освобождением, будем менять независимые ускорения в классе мыслимых. Тогда

Условие экстремума функции сводится к следующим соотношениям:

которые и будут представлять основные уравнения движения системы. При выполнении условий экстремума мыслимое движение становится действительным, переходят в поэтому уравнения движения получают вид

Эти уравнения не включают понятия силы. Если предположить систему освобожденной от всех связей, то для действительного освобожденного движения будем иметь

Определяя из этих уравнений ускорения действительного освобожденного движения, получим выражение для «принуждения» по Гауссу

после чего условия минимума можно записать в виде

Последние уравнения называются обобщенными уравнениями Аппеля. Они определяют движение механической системы, на которую наложены голономные или неголономные связи Функцию «принуждения» А можно представить в виде

где выражение для А не зависит от действительных ускорений. Первый член выражения для А называют «энергией ускорений» по аналогии с кинетической энергией

После подстановки функции 5 уравнения Аппеля преобразуются к следующей форме:

Если ввести обозначение

то для систем с голономными связями величииы будут совпадать с введенными раньше обобщенными силами. В самом деле,

откуда видно, что

а тогда

и уравнения Аппеля запишутся в виде

Мы рассмотрели определение обобщенных сил для голономных связей. Рассмотрим теперь случай, когда на систему материальных точек наложены неголономные связи. Предположим, что

положение системы определяется параметрами так что

и, кроме того, на систему наложены неголономные связи в виде неинтегрируемых соотношений

Дифференцируя по времени уравнения и подставляя результат в получим

откуда

Последнее можно записать в виде

где коэффициенты — функции лагранжевых координат и времени. В силу независимости уравнений найдется по крайней мере один определитель -ного порядка из коэффициентов отличный от нуля. Не нарушая общности, можна всегда предполагать, что из матрицы коэффициентов

будет отличен от нуля минор

При таком предположении можно разрешить систему относительно обобщенных скоростей так что

и получить выражения для проекций скоростей на декартовы оси координат. В самом деле,

поэтому

Для возможных перемещений получим соответственно

Дифференцируя соотношения будем иметь

где уже не содержат величин

Рассматривая выражение работы активных сил на возможных перемещениях системы

увидим, что обобщенные силы в уравнениях Аппеля и в случае неголономных связей определяются через работу сил на возможных перемещениях системы.

Пример 128. Составить уравнения Аппеля для одной материальной точки, движущейся под действием силы предполагая, что на эту точку наложена связь

Решение. Уравнение связи не интегрируется до тех пор, пока не известна зависимость z от х и у, а следовательно, данная связь является неголономной. В рассматриваемом случае энергия ускорения имеет вид

причем ускорения удовлетворяют соотношению

так что

и уравнения движения приобретают вид

Работа активной силы с проекциями X, Y, Z на произвольном возможном перемещении имеет вид

откуда

Пример 129. Составить уравнения Аппеля для задачи о движении материальной точки в плоскости под действием силы .

Решение. Положение материальной точки можно определить полярными координатами Предполагая, что на точку не наложено никаких связей, для энергии ускорений получим выражение

Частные производные будут иметь вид

Подсчитаем работу силы на возможном перемещении точки

или

откуда находим

Уравнения Аппеля теперь запишутся в виде]

Если в качестве неголономной координаты ввести секторную скорость точки

то

и для энергии ускорений получим выражение

Составив выражение для частных производных

запишем уравнения Аппеля

Эти уравнения совпадают с уравнениями в полярных координатах. Чтобы убедиться в этом, найдем сначала обобщенные силы

откуда видим, что

Переходя к полярным координатам, получим

Последние уравнения совпадают с полученными ранее. Условие голоиомности нигде не фигурирует при выводе уравнений Аппеля. Независимыми должны быть лишь скорости. Это условие здесь выполнено.

Пример 130. Записать энергию ускорений для твердого тела с одной неподвижной точкой.

Решение. Ускорения точек твердого тела определяются формулами Ривальса

откуда для проекций на декартовы оси координат, связанные с телом, будем иметь

В общем случае для энергии ускорений имеем выражение

Если оси х, у, z — главные оси инерции для неподвижной точки тела, то члены, содержащие произведения различных координат, пропадут и выражение для энергии ускорений получит вид

или, вводя принятые выше обозначения,