§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ

В ряде задач механики часто требуется определять не только движение системы, но и силы реакций, возникающие при таком движении. В некоторых случаях достаточно знать лишь часть сил реакций. Для определения сил реакций можно воспользоваться уже известными нам общими теоремами динамики системы. Заменяя наложенные на систему связи силами, эквивалентными по своему действию связям, можно рассматривать эту систему как освобожденную от связей. Действительное движение освобожденной системы происходит в соответствии с наложенными ранее связями, но при этом появляются новые возможные перемещения, которым раньше препятствовали наложенные связи. Эти новые возможные перемещения дают возможность так применять общие теоремы динамики системы, чтобы в соответствующие уравнения движения уже входили реакции связей (для этого достаточно применять теоремы на тех возможных перемещениях, на которых работа сил освобожденных реакций отлична от нуля).

В общем случае при освобождении системы от связей, появляется новое возможное перемещение, которому соответствует изменение некоторой новой лагранжевой координаты сохраняющей постоянное значение в действительном движении системы.

Пусть положение неосвобожденной системы определяется независимыми лагранжевыми координатами . Освобожденная система будет определяться координатами Для такой системы можно вычислить живую силу

и, определив работу всех сил на новом возможном перемещении, соответствующем изменению координаты найти соответствующую обобщенную силу . В эту обобщенную силу войдет и искомая реакция связи. Записывая теперь уравнения Лагранжа для координаты

и принимая во внимание, что в действительном движении

получим уравнение для определения интересующей нас реакции.

Пример 104. Тяжелая однородная палочка длины 21, опирающаяся одним концом на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 208), начинает движение из состояния покоя, когда угол Найти силу давления палочки на плоскость.

Рис. 208

Определим сначала движение палочки. Связи, наложенные на систему, допускают поступательное перемещение палочкн вдоль неподвижной горизонтальной оси х. Применяя теорему о движении центра тяжести вдоль этой оси, получим

(где через обозначена координата центра тяжести по оси х).

В начальный момент палочка находилась в покое, поэтому имеем

т. е. центр масс находится все время на одной и той же вертикальной прямой. Выберем неподвижную систему осей так, чтобы ось у совпадала с этой вертикальной прямой. Тогда центр масс все время будет оставаться на оси у.

Для определения движения остается найти зависимость угла от времени. Но связи, наложенные на систему, не зависят явным образом от времени, и действительные перемещения находятся среди возможных. Следовательно, можно применить теорему живых сил, которая сразу дает интеграл живых сил

или

— ордината центра масс; — момент инерции палочки относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через центр масс. Определяя величины

и подставляя их значения в интеграл живых сил, получим

В начальный момент тогда для имеем

Для определения реакции освободим систему от связи и введем силу реакции Среди возможных перемещений теперь появляется поступательное перемещение палочкн вдоль оси у. Это дает возможность применить теорему о движении центра масс вдоль оси у

откуда получаем

Подставляя сюда значение имеем

где определяются для действительного движения, стесненного связями. Эти значения можно выразить через при помощи интеграла живых сил. Дифференцируя последний по времени, для определения получим уравнение

После сокращения на в начальный момент, когда будем иметь

откуда

Реакция в начальный момент равна

При значение меньше веса палочки Например, при в начальный момент будем иметь

Пример 105, Однородная палочка АВ длины и веса положена в гладкий неподвижный полуцилиндр с горизонтальной осью, проходящей через точку О, причем Палочка движется под действием своего веса. Определить реакцию в точке А в зависимости от угла где С — центр тяжести палочки. В начальный момент причем палочка находится в покое (рис. 209).

Связи, наложенные на систему (т. е. на палочку), идеальны и не зависят явно от времени, а активные силы (силы тяжести) обладают силовой функцией. При этих условиях существует интеграл живых сил

или

который полностью определяет движение палочки. Постоянная находится из начальных условий:

Для определения реакции освободим палочку от связи в точке А, заменив ее действие силой Будем рассматривать только движение палочки в плоскости чертежа. Возможное перемещение точки В палочки по направлению совпадает с касательной к окружности в точке В. Направим неподвижную ось вдоль касательной в окружности в точке В в рассматриваемый момент времени. Освобожденная в точке А палочка может перемещаться поступательно вдоль оси так что найдется возможное перемещение палочки, при котором перемещения всех точек палочки будут совпадать по величине и по направлению с перемещением точки В.

Рис. 209

Рис. 210

Тогда можно применить теорему о движении центра масс для оси

где — проекция на ось х скорости о с центра тяжести палочки в ее действительном движении. Но

поэтому

где а — угол наклона палочки к оси х меняется во время движения. Отсюда

Но рассматриваемый момент тогда

Подставляя это значение в формулу для определения реакции, будем иметь

Определяя с помощью интеграла живых сил и подставляя в предыдущую формулу, получим

Отсюда, при , найдем

Эту же задачу можно решить и при помощи уравнений Лагранжа второго рода. Для этого нужно вычислить живую силу и силовую функцию палочки:

после чего можно записать уравнение движения в форме Лагранжа, либо первый интеграл этого уравнения, каким будет интеграл живых сил.

Для определения реакции заменим связь в точке силой. Среди возможных перемещений освобожденной системы будет такое, при котором изменяется угол Параметры можно рассматривать как лагранжевы координаты освобожденной системы. В новых параметрах живая сила имеет вид

Вычисляя работу всех сил, действующих на систему, на перемещении, соответствующем изменению угла имеем

откуда

Дифференцируя живую силу по

и принимая во внимание, что в действительном движении получим соответствующее координате О уравнение Лаграижа для действительного движения

откуда определим N

После подстановки из уравнений движения значений и соответствующих преобразований получим

Пример 106. Концы однородного прямого стержня А В и длины и массы скользят без треиия по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной стороны (рис. 210). Определить вертикальное давление стержня на рамку в точке А.

Принимая за лагранжеву координату угол наклона Ф стержня к горизонтальной стороне рамки, будем иметь

Движение стержня определяется из уравнения Лагранжа

которому отвечает первый интеграл (интеграл Якоби)

Для определения вертикального давления стержня на рамку освободим стержень в точке А от связи и введем силу дав возможность точке А стержня перемещаться в вертикальном направлении. Обозначим вертикальную координату точки А через х. В действительном движении . Примем за лагранжевы координаты (при определении реакций) координаты Тогда живая сила системы получит вид

Обобщенная сила, соответствующая координате х

соответствующее уравнение Лагранжа (при )

Определяя из уравнений движения, будем иметь

Замечание. До сих пор при составлении дифференциальных уравнений движения системы материальных точек, мы предполагали, что на систему наложены идеальные связи. Такое предположение сильно сужает круг тех задач, которые могут быть разрешены методами динамики. В частности, связи с трением в ряде случаев являются неидеальными связями, а исключить все такие связи из рассмотрения практически невозможно.

Можно, однако, заметить, что все рассмотренные методы составления дифференциальных уравнений движения без особого труда распространяются и на системы с неидеальными связями. Для этого достаточно доопределить силы, действующие на систему, введя в рассмотрение неизвестные силы реакции связей, совершающие отличную от нуля работу на возможных перемещениях системы. После введения таких сил наложенные на систему связи могут уже рассматриваться как идеальные, и все рассмотренные методы составления дифференциальных уравнений движения будут применимы к такой системе.

Получающиеся таким путем дифференциальные уравнения движения в общем случае будут содержать лишние неизвестные, исключить которые не всегда просто. На помощь приходится привлекать экспериментальные факты, вносящие некоторую определенность в постановку задачи. Одним из таких экспериментальных фактов является, в частности, известный закон Кулона, устанавливающий зависимость касательных составляющих сил реакции связей от нормального давления. Составленные таким образом уравнения движения будут представлять собой сложную систему и дальнейшее исследование этой системы обычно проводится путем постепенного освобождения от лишних неизвестных. Исследование часто осложняется тем обстоятельством, что коэффициент трения не является постоянной величиной, а изменяется в зависимости от нагрузки.

Пример 107. Определить движение однородного круглого диска, находящегося под действием силы тяжести и пущенного в вертикальной плоскости по горизонтальному рельсу предполагая, что между диском и рельсом существует трение, определяемое законом Кулоиа (рис. 211).

Наложенные на систему связи не являются идеальными и для того, чтобы применить общие теоремы, необходимо ввести в рассмотрение силы, препятствующие поступательному перемещению диска. Введя в рассмотрение неизвестную силу реакции F, направленную вдоль оси х, можно рассматривать рельс как совершенно гладкий. При этом среди возможных перемещений появляется поступательное перемещение диска вдоль оси х, что дает возможность применить теорему о движении центра масс, откуда

Полученное уравнение содержит две неизвестных величины: х и F. Из определения силы F по закону Кулона будем иметь

где — вертикальная составляющая силы реакции; — коэффициент трения. Из теоремы о движении центра масс вдоль оси у получим, что

Рис. 211

Таким образом, движение центра масс вдоль оси х будет определяться уравнением

Если теперь обозначить через скорость точки обруча, находящейся в соприкосновении с рельсом, то будем иметь

где — угол поворота диска. Сила трения, определяемая по закону Кулона, направлена в сторону, противоположную направлению скорости и. Поэтому в уравнении движения будем считать, что если если . Закон изменения угла определим из теоремы об изменении момента количества движения

где — радиус инерции диска относительно его центра масс, раднус диска. Подставляя F, будем иметь

откуда без труда получим

Если в начальный момент выполняется условие

то скорость убывает пропорционально времени и за конечное время обращается в нуль.

Если в начальный момент выполняется условие

то и уменьшается со временем разность обращаясь в нуль за конечное время.

По достижении нулевого значения скорости точки контакта, сила сопротивления F становится равной нулю (благодаря отсутствию проскальзывания) и дальнейшее движение происходит так, что разность остается равной нулю.

В частном случае, когда в начальный момент отрицательна и очень велика, при положительном абсцисса х сначала возрастает со временем, пока скорость не обратится в нуль, после чего центр тяжести начинает неограниченно удаляться в сторону отрицательных значений х.