Гироскоп. Приближенная теория.

В самом общем случае гироскоп можно определить как динамически симметричное твердое тело, способное вращаться с большой угловой скоростью около мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку. Последняя может быть центром тяжести твердого тела или лежать на центральной оси инерции (оси симметрии). В технике под гироскопом понимают механическое устройство, неотъемлемой частью которого является вращающаяся часть — ротор с тяжелым ободом, смонтированный так, чтобы его ось вращения имела возможность поворачиваться в любом направлении около неподвижной точки, лежащей на оси. Обычно это достигается при помощи так называемого карданова подвеса. В приближенном исследовании движения гироскопа массой карданова подвеса обычно пренебрегают.

Рассмотрим твердое тело в случае Лагранжа, для которого в начальный момент выполняются условия

т. е. твердому телу сообщается быстрое начальное вращение вокруг оси симметрии и не сообщаются нутационные и прецессионные движения.

Рассматривая кинематические уравнения Эйлера

заметим, что определитель системы при определении будет иметь вид

поэтому при будем иметь

Из первых интегралов уравнений движения теперь получим,

а для функции будем иметь выражение

Здесь один из корней полинома равен . В то же время Следовательно, корень На параллели имеем точки возврата. Корень находится из уравнения

из которого имеем

При очень больших значениях правая часть последнего соотношения неограниченно уменьшается и разность стремится к нулю.

Рис. 242

Рис. 243

Движение оси симметрии осуществляется в этом случае в виде мелких нутационных «дрожаний» и прецессионного движения, происходящего все время в одну сторону (рис. 242). Такое движение называется псевдорегулярной прецессией, в отличие от регулярной прецессии, когда

Характер движения быстро вращающегося гироскопа позволяет дать его приближенный качественный анализ. В рассматриваемом случае имеем

Если в начальный момент ось симметрии твердого тела неподвижна, а телу сообщается начальная угловая скорость он вокруг этой оси симметрии, то вектор угловой скорости будет совпадать по направлению с вектором момента количества движения, и

Движение же гироскопа определяется из теоремы об изменении момента количества движения

где сумма моментов всех активных внешних сил, действующих на гироскоп, относительно неподвижной точки. Мы пренебрегаем здесь трением, а потому можем считать связь идеальной.

Пренебрегая нутационным движением гироскопа, когда скорость собственного вращения достаточно велика, получим, что отклонение вектора мгновенной угловой скорости со от оси симметрии гироскопа во время движения будет мало (рис. 243). В самом деле, скорость конца вектора момента количества движения приближенно равна

так что

откуда

или

Чем больше скорость собственного вращения, тем меньше скорость прецессии юг, поэтому можно пренебречь отклонением вектора мгновенной угловой скорости от направления вектора а, а движение оси симметрии гироскопа определить формулой

или

Эта формула определяет величину и направление момента внешних сил, которые нужно приложить к телу, чтобы сообщить ему определенное прецессионное движение. На приспособления, приводящие тело в движение, будет действовать момент сил той же величины, но противоположного направления

Вектор называют гироскопическим моментом. Из полученной формулы сразу же вытекает известное правило Жуковского: Если гироскоп, вращающийся с угловой скоростью повернуть вокруг некоторой оси, образующей угол а с осью симметрии тела, с угловой скоростью то появится пара сил с моментом, равным по величине произведению стремящаяся повернуть ось тела к оси сообщаемого вращения так, чтобы при совпадении осей вращения были направлены в одну сторону.

Несмотря на то что приближенные методы исследования движения твердого тела дают лишь грубое представление о движении, они нашли большое приложение в технике, особенно в теории

разнообразных гироскопических систем. Эти методы хороши тем, что позволяют дать достаточно правильное представление о движении системы. При применении приближенных методов необходимо давать оценку их точности. На практике для такой оценки сравнивают теоретические результаты с экспериментальными. Неоспоримым преимуществом приближенных методов является то, что уравнения малых движений быстро вращающихся гироскопов получаются линейными относительно производных от координат по времени.