Глава VII. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Аналитическая динамика занимается изучением таких свойств уравнений движения механических систем, которые обусловлены особой формой этих уравнений. Она рассматривает общие принципы механики, вывод из них основных дифференциальных уравнений движения и методов их интегрирования. Аналитическая динамика имеет свои методы исследования, пригодные для решения сложных задач механики, а также различных областей физики.
Аналитическая динамика начала развиваться в конце XVII— начале XVIII в., в период буржуазной революции в Европе. Торричелли и Бернулли положили начало аналитической статике. Галилей и Ньютон сформулировали основные законы динамики, а в конце XVIII в. Лагранж разработал основы современной аналитической динамики. Весь этот период характеризуется бурным развитием техники и точных наук. В результате появилась потребность к обобщению накопленных знаний, к созданию таких принципов, откуда бы вытекали все основные положения механики. Одним из результатов такого обобщения явился принцип Даламбера—Эйлера—Лагранжа, как наиболее общий принцип механики. Он позволил сформулировать различные задачи о движении в виде системы дифференциальных уравнений.
Принцип Даламбера — Лагранжа не исчерпывал все возможности познания движения. Еще в XVIII в. возникли новые задачи, в которых искомые движения выделяются из всех мыслимых движений (допускаемых связями) при помощи некоторого экстремального принципа отбора. К таким задачам относятся, например, задача о линии наибыстрейшего ската, задача о маятнике с постоянным периодом, не зависящим от амплитуды, и др. Задачи такого рода сводятся к отысканию экстремума интегралов от некоторых функций. Задача экстремума отвечает и более
ранним принципам механики — принципу Бернулли и принципу Даламбера — Лагранжа.
Развитие принципов механики связано с развитием принципов оптики и приводит к задаче об оптико-механической аналогии. В оптике принципы распространения света высказывались значительно раньше, чем принципы динамики. Герон еще в I в. до н. э. высказывал мысль, что свет распространяется по кратчайшему пути. В XVII в. П. Ферма (1601—1665) предложил принцип распространения света, согласно которому при прохождении границы двух сред свет распространяется по тому пути, на который затрачивается наименьшее время. Дальнейшим развитием этого принципа занимались Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Последний установил аналогию принципа Ферма с принципами механики.
Не меньшее значение получили в аналитической механике методы исследования малых движений системы вблизи положения устойчивого равновесия или установившегося движения. Эти методы начали развиваться из запросов небесной механики и нашли широкое применение в технике. Развитие методов связано с именами Лагранжа, Рауса, Пуанкаре, Ляпунова и многих других математиков и механиков.
В нашем курсе мы останавливаемся лишь на изложении основных положений аналитической механики. Не придерживаясь исторической последовательности, начнем изложение с принципа Гамильтона, который может быть получен непосредственно из принципа Даламбера — Лагранжа. Автор ряда исследований в оптике, ирландский математик Гамильтон (1805—1865) внес в механику принцип, аналогичный принципу Ферма, смысл которого заключается в том, что механическое движение совершается из одного заданного положения в другое за определенный отрезок времени при условии, что разность потенциальной и кинетической энергии в среднем имеет в этом движении экстремальное значение (минимум). Гамильтоном этот принцип установлен для систем, на которые наложены не зависящие от времени связи. Независимо от Гамильтона и несколько позже этот принцип был установлен русским механиком М. В. Остроградским (1801—1861) для систем со связями, зависящими явно от времени.
