4. Влияние гироскопических сил на устойчивость равновесия.

Если положение равновесия системы неустойчиво, то оно может быть в некоторых случаях стабилизировано добавлением гироскопических сил. Гироскопическими (по определению Томсона и Тэта) называются силы, сумма работ которых на действительном перемещении системы равна нулю. Это могут быть действительно силы или просто некоторые члены уравнений движения, обусловленные определенной структурой этих уравнений. В связи с этим гироскопические силы иногда называют гироскопическими членами. По определению, гироскопические силы удовлетворяют соотношению

из которого непосредственно следует, что гироскопические силы являются линейными функциями обобщенных скоростей

Из определения гироскопических сил находим

Таким образом, если матрица кососимметрическая, т. е. то работа сил тождественно равна нулю, и силы будут гироскопическими. Гироскопические члены в уравнениях Лагранжа могут появляться, например, при наложении на систему связей, зависящих явно от времени. Действительно, так как в этом случае

где

то уравнения Лагранжа записываются в виде

или

Здесь члены

являются гироскопическими, так как

Эти гироскопические члены уничтожаются, если величины постоянны. (Нетрудно видеть, что гироскопическими будут, например, силы Кориолиса от кориолисова ускорения.)

Рассмотрим механическую систему, совершающую малые движения около положения равновесия. Пусть положение механической системы определяется главными координатами Предположим, что кроме консервативных сил на систему действуют еще диссипативные и гироскопические силы. Пусть диссипативная функция в главных координатах.

а гироскопические силы

Докажем следующие теоремы, принадлежащие Кельвину.

Теорема 1. Равновесие, устойчивое при одних консервативных силах, сохраняет устойчивость и при добавлении гироскопических и диссипативных сил.

Доказательство. При добавлении гироскопических и диссипативных сил уравнения движения системы вблизи положения равновесия принимают вид

Если все положительны, то положение равновесия устойчиво при одних потенциальных силах, и функция

будет определенно положительной. Производная от функции Я в силу уравнений движения

не будет положительной. Поэтому справедливость теоремы сразу следует из теоремы Ляпунова об устойчивости движения.

Теорема 2. Изолированное неустойчивое движение равновесия не может быть стабилизировано добавлением гироскопических и диссипативных сил, если последние обладают полной диссипацией.

Для доказательства достаточно рассмотреть функцию Ляпунова

Она допускает бесконечно малый высший предел, так как не зависит явно от времени. Величины всегда можно подобрать так, чтобы функция имела отрицательные значения в сколь угодно малой окрестности начала координат, ибо среди существует по крайней мере одно отрицательное. Производная от функции

будет определенно отрицательной функцией, если (3 достаточно мала. Следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы о неустойчивости, чем и доказывается неустойчивость.

Отрицательный ответ дается и на вопрос о возможности стабилизации неустойчивого изолированного положения равновесия одними гироскопическими силами, если неустойчивость при одних консервативных силах имеет нечетную степень, т. е. число отрицательных нечетно.

В самом деле, пусть число отрицательных нечетно, и все V» отличны от нуля. Рассмотрим уравнения возмущенного движения

Характеристическое уравнение этой системы запишется следующим образом:

Заметим, что

и если число отрицательных А нечетно, то имеют разные знаки, а характеристическое уравнение имеет по меньшей мере один положительный корень. При выполнении этих условий общее решение линейной системы содержит экспоненциальный член, неограниченно возрастающий по модулю, откуда и следует, что положение равновесия системы оказывается неустойчивым.

Теорема. Равновесие, неустойчивое при одних консервативных силах, может быть стабилизировано добавлением подходящих гироскопических сил, если степень неустойчивости была четной и диссипативные силы отсутствуют.

Покажем это на примере. Пусть система имеет вид:

— отрицательны. Характеристическое уравнение этой линейной системы

и если выполняются неравенства

то уравнение имеет только чисто мнимые корни, а движение в окрестности положения равновесия будет совершаться по гармоническому закону. Этим и доказывается устойчивость при наличии гироскопических сил.

Замечание. Диссипативные силы в природе всегда существуют, поэтому рассмотренная стабилизация является временной.

Пример 140. Рассмотрим устойчивость равновесия гироскопического маятника, представляющего собой гироскоп с тремя степенями свободы, центр тяжести которого лежит на оси фигуры на некотором расстоянии от опоры (рис. 265).

Пусть — абсолютная система координат с началом в неподвижной точке маятника, причем ось направлена вертикально вверх. Ось ротора гироскопа обозначим через и пусть — проекция оси на плоскость Обозначим через а угол между осями а через угол между осями Линию пересечения плоскости с плоскостью, перпендикулярной к оси и проходящей через точку О, обозначим через х, а ось у выберем так, чтобы система образовывала правую тройку.

Рис. 265

Преобразование от осей осям можно осуществить двумя поворотами, так что

Направляющие косинусы приведены в таблице

Проекции угловой скорости вращения подвижной системы координат на оси х, у, z суть

Обозначим через угловую скорость вращения твердого тела относительно системы координат Тогда проекции угловой скорости твердого тела на оси х, у, z

а живая сила равна следующему выражению:

или

Считая величины малыми и пренебрегая в выражении для живой силы членами выше второго порядка малости, приближенно будем иметь

Если к твердому телу приложены лишь силы тяжести, то силовая функция задачи запишется следующим образом:

Тогда приближенные уравнения для малых движений в окрестности положения равновесия примут вид

Если то гироскопические члены не войдут в уравнения, и система будет консервативной:

При положение равновесия такой системы устойчиво, при — неустойчиво

При наличии гироскопических сил характеристическое уравнение системы имеет вид

или

Положение равновесия будет устойчивым, если действительные части корней этого уравнения будут равны нулю (тогда решение представится в виде тригонометрических функций и будет ограниченным). Последнее выполняется, если

Таким образом, при положение равновесия может быть стабилизировано гироскопическими силами. Диссипативные силы в природе уничтожить невозможно, поэтому такая стабилизация оказывается временной.