2. Интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела.

Первые интегралы уравнений движения. Система уравнений (а) и (b), определяющих движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием силы тяжести, представляет собой систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами относительно шести неизвестных функций времени После того, как величины будут найдены в функции времени, для определения углов Эйлера останется подставить найденные величины в кинематические уравнения Эйлера. Поэтому задача определения движения твердого тела сводится к нахождению шести независимых первых интегралов системы.

Для отыскания указанных первых интегралов воспользуемся сначала некоторыми общими свойствами движения твердого тела. Заметим, что связи, наложенные на твердое тело, таковы, что действительное перемещение твердого тела находится среди его возможных перемещений. Это обстоятельство дает возможность применить теорему живых сил. Действующая же на твердое тело сила тяжести обладает силовой функцией, поэтому из теоремы живых сил сразу следует первый интеграл — интеграл живых сил

После подстановки значений Т и он принимает вид

где

Следующий первый интеграл найдем, заметив, что среди возможных перемещений твердого тела имеется поворот вокруг неподвижной вертикальной оси что дает возможность применить теорему об изменении момента количества движения относительно этой оси. Активная сила — сила тяжести параллельна оси и не дает момента относительно этой оси. Поэтому теорема дает первый интеграл — закон сохранения момента количества движения относительно оси или интеграл площадей

или

Подставляя сюда значения будем иметь

Здесь величины не могут быть выбраны произвольно, так как они связаны условием

Последнее уравнение называется тривиальным интегралом.

Полученные здесь три первых интеграла уравнений движения можно без труда вывести непосредственно из уравнений движения (а) и Умножая уравнения группы (а) соответственно на и складывая их, получим

Используя уравнения Пуассона, преобразуем последнее уравнение к виду

откуда сразу следует интеграл живых сил.

Умножая каждое из уравнений группы (а) соответственно на а уравнения группы на и складывая полученные результаты, получим

откуда непосредственным интегрированием находим интеграл площадей.

Тривиальный интеграл получим, умножая каждое из уравнений Пуассона соответственно на и складывая. Будем иметь

откуда, интегрируя, получаем тривиальный интеграл.

Можно показать, что для полного интегрирования задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки достаточно найти четыре независимых первых интеграла. В самом деле, систему шести дифференциальных уравнений, поскольку в них не входит явно время, можно заменить эквивалентной системой пяти уравнений

так как последнее интегрирование сводится к квадратуре

Теперь задача сводится к отысканию всего пяти первых интегралов, три из которых, как было показано, всегда существуют. Остается найти еще два независимых первых интеграла. Можно, однако, заметить, что функция Р не зависит явно от не зависит от и т. д., так что

При этих условиях, как это доказывается в курсах дифференциальных уравнений, если известно четыре первых интеграла, то пятый находится интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Пусть известно четыре первых интеграла:

Выберем новые переменные так, чтобы имели место равенства

После такой замены будем иметь

и задача сведется к интегрированию одного дифференциального уравнения

Интегрирующий множитель этого уравнения

где М — последний множитель, обращающий в нуль выражение

Таким множителем в рассматриваемом случае является

так как

Если есть интеграл уравнения

то

откуда следует

и уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, которое и дает пятый первый интеграл. Этим задача интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела оказывается полностью разрешенной. Она сводится к нахождению четвертого первого интеграла. Найти его до настоящего времени удалось только в трех случаях:

1. Случай Эйлера — Пуансо. Здесь центр тяжести является неподвижной точкой, а сумма моментов сил относительно неподвижной точки тождественно равна нулю.

2. Случай Лагранжа — Пуассона. Моменты инерции относительно главных осей удовлетворяют условиям а центр тяжести находится на оси симметрии эллипсоида инерции.

3. Случай С. В. Ковалевской. Моменты инерции относительно главных осей удовлетворяют условиям а центр тяжести расположен в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, так что

Других общих случаев интегрирования задачи о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в настоящее время неизвестно. Задачу удается проинтегрировать в ряде случаев, если наложить дополнительные ограничения на начальные условия. Эти так называемые частные случаи задачи о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой весьма интересны, но в настоящем курсе рассматриваться не будут.