3. Замечание о лагранжевых координатах.

При выводе уравнений Лагранжа были введены понятия обобщенных координат. Эти координаты определяют положение системы в каждый момент времени. Кроме того, при выводе использовалась явная зависимость декартовых координат от обобщенных. Это обстоятельство нельзя забывать при составлении уравнений движения. Несоблюдение этого условия может привести к ошибочным результатам.

Рассмотрим в качестве примера ошибочные рассуждения К- Неймана, допущенные при решении одной задачи.

Пример 98. Рассмотрим движение материальной точки массы в плоскости Положение такой точки можно определить велярными координатами гид, так что живая сила точки запишется в виде

Такие координаты являются координатами Лагранжа. Пусть на точку действует произвольная сила F. Разложим эту силу на две ортогональных составляющих, одну из которых направим вдоль радиус-вектора, а вторую — ортогонально к первой (рис. 202). Нетрудно видеть, что уравнения Лагранжа в этих координатах получат вид

Рис. 202

Рис. 203

Если же, следуя К. Нейману, за координаты принять расстояние точки до начала и площадь 0, заметаемую радиус-вектором точки, так что

то получим совершенно другие уравнения, которые не могут быть сведены к уравнениям в полярных координатах. В самом деле, кинетическая энергия в новых переменных получит вид

откуда найдем

Вычисляя работу сил на произвольном возможном перемещении, получим

поэтому уравнения Лагранжа запишутся теперь в виде

Преобразуя эти уравнения к полярным координатам, получим

что не совпадает с уравнениями движения в полярных координатах. Это несовпадение объясняется тем, что координаты и а не являются лагранжевыми координатами. Они не определяют положения точки до тех пор, пока не решена задача о движении и не найдена траектория точки. Декартовы координаты х и у нельзя представить как явные функции параметров Такие координаты являются неголономнымн.

Пример 99. Тяжелый цилиндр радиуса и массы может скользить по плоскости, наклоненной к горизонту под углом а. Вокруг цилиндра обмотана нить, конец которой тянут вдоль наклонной плоскости с постоянным ускорением а (рис. 203). Определить ускорение центра масс цилиндра, если момент инерции цилиндра относительно оси симметрии равен

Общие теоремы, не вводя реакций связей, здесь применять нельзя, поскольку среди возможных перемещений нет поступательных перемещений, нет поворотов вокруг неподвижной оси и действительные перемещения не находятся среди возможных. Применяя уравнения Лагранжа, за лагранжеву координату примем координату х центра масс системы. Обозначив через угол поворота цилиндра относительно оси Кёнига, проходящей через центр масс цилиндра, будем иметь зависимость координат

Живую силу вычислим по теореме Кёнига

Силовая функция имеет вид

Уравнение Лагранжа, соответствующее координате х, примет вид

или

Для однородного сплошного цилиндра

тогда ускорение центра масс цилиндра

Естественно, что при цилиндр будет двигаться с ускорением, направленным вверх, а при центр цилиндра будет двигаться равномерно.