2. Канонические уравнения Гамильтона.
Пусть положение механической системы с голономными идеальными связями полностью определяется лагранжевыми координатами 
а движение системы — уравнениями Лагранжа второго рода:
Функция Лагранжа в общем случае является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей 
и удовлетворяет условию
(система, удовлетворяющая этому условию, называется нормальной), поэтому можно рассматривать преобразование Лежандра функции Лагранжа 
принимая в качестве активных переменных преобразования обобщенные скорости 
Новые переменные
называют импульсами. Преобразование 
осуществляемое при помощи функции Лагранжа, называется преобразованием Гамильтона. Обратное преобразование осуществляется функцией
зависящей от координат и импульсов. Тогда обобщенные скорости будут определяться равенствами
Кроме того, будем иметь соотношения
Уравнения Лагранжа в новых переменных получат теперь вид (после исключения обобщенных скоростей)
Присоединяя сюда группу уравнений
получим 
дифференциальных уравнений первого порядка, которым удовлетворяют переменные 
причем правые части дифференциальных уравнений являются функциями времени и переменных 
Переменные 
были введены в механику Пуассоном и Гамильтоном и называются каноническими переменными Гамильтона. Сами же дифференциальные уравнения
были получены впервые Гамильтоном в 
и называются каноническими уравнениями и Гамильтона. Функция Я называется функцией Гамильтона, или характеристической функцией. Уравнения Гамильтона оказываются удобными при исследовании не только динамических задач классической механики, но и ряда вопросов современной физики.
Следует отметить, что в соотношении 
производные левой части берутся в системе переменных 
а в правой — в системе переменных 
Если связи не зависят явно от времени, а силовая функция тождественно равна нулю, будем иметь
тогда
Пример 116. Рассмотрим преобразование Гамильтона для свободной материальной точки, движущейся по инерции в плоскости, положение которой определяется полярными координатами 
Живая сила точки, записанная в полярных координатах, имеет вид
а обобщенные импульсы соответственно равны
Функция Гамильтона
Рассмотрим частные производные
будем иметь
