5. Маятник Фуко.

Маятником Фуко называют сферический маятник длиной движение которого рассматривается в системе координат, жестко связанной с вращающейся Землей. Кроме силы Кориолиса от добавочного ускорения на точку действует сила натяжения нити (рис. 179). Уравнения движения принимают вид

Уравнения движения сферического маятника оказываются более сложными, чем уравнения движения свободной материальной точки, поскольку в эти уравнения входит сила реакции, являющаяся неизвестной функцией координат. Можно пытаться провести интегрирование уравнений методом последовательных приближений, предварительно исключив реакцию. Но и эта задача оказывается весьма сложной. Обычно при исследовании ограничиваются случаем малых колебаний (колебания с малой амплитудой), рассматривая движение приближенным методом. Отношения рассматриваются как малые величины, квадратами которых в уравнениях движения можно пренебрегать. В таком случае

Тогда для малых отклонений

В этом случае из третьего уравнения, отбрасывая бесконечно малые величины, получим

или

Применим теорему об изменении момента количества движения относительно оси Для суммы моментов сил относительно оси принимая во внимание, что изменением координаты можно пренебречь, получим приближенное значение

Обозначая через угол, образованный вертикальной плоскостью качания маятника с плоскостью получим

где

тогда

Теорема об изменении момента количества движения дает

или

Если в начальный момент то постоянная интегрирования обращается в нуль, и

Интегрируя это уравнение, получим

т. е. угол Ф изменяется с течением времени с постоянной скоростью.

Обозначая через Т время полного оборота плоскости качания маятника, т. е. время, за которое угол Ф изменится на величину будем иметь

Здесь со — угловая скорость вращения Земли, так что

поэтому

На полюсе при На экваторе и время полного оборота т. е. плоскость качания маятника практически не вращается. Вращение плоскости качания маятника впервые обнаружил в 1851 г. Леон Фуко (1819—1868) в своих знаменитых опытах в Пантеоне. Длина нити была равна продолжительность простого колебания 16 сек, широта местности равна Время полного оборота плоскости качания, полученное на основании вычислений, оказалось равным 41 час 47 мин, что и было подтверждено опытами. Плоскость качания маятника Фуко, установленного в здании Исаакиевского собора в Ленинграде (длина маятника 98 м, вес 60 кг, амплитуда колебаний 5 м, период колебаний около 20 сек, поворачивается за каждый час приблизительно на 13°.

Все приведенные здесь рассуждения носят приближенный характер, так как предполагалось, что длина маятника достаточно

велика, а амплитуда колебаний мала. На практике маятник Фуко обычно отпускают из отклоненного начального положения, так что постоянная интегрирования в уравнении

отлична от нуля. Принимая во внимание, что в начальный момент получим

откуда

Полагая преобразуем последнее уравнение к виду

Величины являются относительными полярными координатами горизонтальной проекции точки по отношению к системе осей, вращающейся вокруг вертикали с угловой скоростью Для полного исследования движения здесь необходимо принять во внимание еще интеграл живых сил. Тогда уравнения будут совпадать с уравнениями задачи о движении точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, пропорциональной расстоянию точки до центра. Известно, что в таком движении точка описывает эллипс.