2. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой.

Будем определять движение твердого тела, у которого

закреплена одна точка О, относительно неподвижной системы осей . С твердым телом свяжем жестко подвижную систему осей Тогда движение твердого тела полностью будет определяться движением системы Положение твердого тела относительно неподвижной системы осей можно определить углами Эйлера а скорости изменения углов представить векторами , перпендикулярными плоскостям соответствующих углов Эйлера и направленными в ту сторону, откуда положительное вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Кинематические уравнения Эйлера.

Мгновенное движение твердого тела определяется тремя мгновенными вращениями со скоростями Поэтому вектор мгновенной угловой скорости можно представить в виде суммы

Обозначая, как и раньше, через проекции вектора на оси х, у, z и проектируя векторы на эти же оси, получим

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями Эйлера.

Динамические уравнения Эйлера.

Будем предполагать, что на точки твердого тела действуют активные силы с проекциями на подвижные оси координат — проекции на те же оси результирующего момента системы сил относительно начала координат. Пусть — вектор момента количества движения твердого тела относительно начала координат.

Связи, наложенные на твердое тело, допускают в каждый момент времени поворот твердого тела вокруг любой неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку О. Следовательно, можно применить теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижной точки О, из которой следует, что скорость конца вектора момента количества движения а равна сумме моментов всех внешних активных сил относительно этой неподвижной точки О, т. е.

Абсолютная скорость движения конца вектора о может быть представлена как сумма относительной (по отношению к подвижной системе осей и переносной скоростей. Обозначим через

проекции на оси x, у, z относительной скорости конца вектора и определим переносную скорость как скорость той точки

подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает конец вектора а. Тогда

а проекции переносной скорости определяются из матрицы

Уравнения, определяющие изменение вектора момента количества движения твердого тела относительно неподвижных осей в проекциях на подвижные оси координат, получают вид

где — проекции вектора на подвижные оси х, у, z — представляют собой суммы моментов активных сил относительно подвижных осей х, у, z соответственно. Уравнения эти можно записать в векторном виде

Полученные уравнения являются общими уравнениями движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Если же за подвижные оси координат х, у, z выбрать главные оси инерции для точки О, то для живой силы твердого тела получим выражение

где А, В, С — моменты инерции твердого тела относительно главных осей эллипсоида инерции; — проекции мгновенной угловой скорости вращения твердого тела на эти оси. Для проекций вектора момента количества движения а на оси х, у, z получим теперь значения

Подставляя эти значения в полученные выше уравнения движения твердого тела, получим динамические уравнения Эйлера

Эти уравнения были получены впервые Л. Эйлером в 1758 г.

Применение осей, движущихся в пространстве и в теле.

В некоторых случаях удобно рассматривать движение твердого тела, применяя уравнения движения в проекциях на оси координат, движущиеся независимо от движения твердого тела. Такие оси применяли Пюизе в теории движения Земли, Резаль в баллистике, А. Н. Крылов и Б. В. Булгаков в теории гироскопов.

Будем рассматривать твердое тело с неподвижной точкой О, которое совершает движение относительно неподвижной системы координат Пусть некоторая подвижная система координат совершает самостоятельное движение, вообще не связанное с движением твердого тела, с мгновенной угловой скоростью изменяющейся с течением времени по величине и по направлению. Мгновенную угловую скорость вращения твердого тела обозначим через (рис. 228), а ее проекции на оси х, у, z через Пусть — проекции вектора Й на те же оси, как и прежде, обозначают проекции вектора на оси Для живой силы твердого тела будем иметь значение

Однако величины А, В, С, D, Е и F теперь уже могут быть не постоянными по величине и вообще будут меняться при движении твердого тела относительно осей Для проекций вектора момента количества движения на оси х, у, z получим выражения

При составлении уравнений движения твердого тела воспользуемся снова теоремой об изменении момента количества движения. Для проекций относительной скорости конца вектора а будем иметь значения Проекции же переносной скорости определятся из матрицы

после чего нетрудно записать уравнения движения:

Полученные уравнения по внешнему виду совпадают с обобщенными уравнениями Эйлера, когда подвижные оси жестко связаны с твердым телом. Но в рассматриваемом случае подвижные

оси могут двигаться независимо от твердого тела, а величины являются проекциями на подвижные оси мгновенной угловой скорости движения подвижной системы координат, в то время как проекции на эти же оси вектора момента количества движения твердого тела ст. Если тело симметрично и за подвижную ось z выбрать ось симметрии твердого тела, ось х направить по линии узлов, а ось у перпендикулярно к этим двум осям так, чтобы оси х, у, z представляли собой правую тройку, то уравнения принимают весьма компактный вид, а оси называются осями Резаля.

Рис. 228

Рис. 229

Для симметричного твердого тела оси Резаля являются главными осями инерции, поэтому живая сила твердого тела получит вид

Проекции же вектора момента количества движения на оси будут

где

Для проекций вектора Q будем иметь

Подставляя эти значения в уравнения движения, будем иметь

В дальнейшем эти уравнения будем называть уравнениями движения симметричного тела в осях Резаля.

Вместо углов Эйлера иногда бывает удобно ввести другие параметры, определяющие положение твердого тела, например углы Резаля определяющиеся формулами

Углы эти оказываются удобными, когда ось симметрии остается вблизи некоторого неподвижного направления (неподвижной оси Обозначая ось симметрии через z, а отрицательное направление линии узлов через у и выбирая ось х так, чтобы оси х, у, z составляли бы правую тройку, будем иметь

(рис. 229). Угловая скорость вращения системы осей будет иметь проекции

и уравнения движения симметричного тела в углах Резаля получат вид

Замечание о выводе уравнений Эйлера при помощи уравнений Лагранжа второго рода.

При выводе уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа второго рода необходимо сначала выбрать обобщенные координаты, определяющие положение твердого тела. В качестве таких координат можно, например, принять углы Эйлера, через которые могут быть выражены декартовы координаты всех точек твердого тела. В главных осях живая сила твердого тела имеет вид

где величины выражаются через углы Эйлера и их производные при помощи кинематических уравнений Эйлера:

Выпишем сначала уравнение Лагранжа для координаты характеризующей вращение твердого тела вокруг оси z. Будем иметь

здесь

Подстановка этих значений в уравнение Лагранжа приводит сразу к уравнению Эйлера

Два других уравнения Эйлера не могут быть непосредственно получены применением уравнений Лагранжа, поскольку параметры и О не соответствуют вращению твердого тела вокруг подвижных осей х и у. Эти уравнения легко могут быть получены из уравнения (а) циклической подстановкой. Изменяя наименования осей, переименуем ось х на у, у на z и т. п. При этом должны быть изменены обозначения моментов инерции и проекций мгновенной угловой скорости:

Движение же твердого тела не зависит от того, как мы обозначим оси, а уравнения при изменении осей получаются другими. Выполняя указанную циклическую подстановку, получим еще два уравнения Эйлера: