9. Сложение скоростей в общем случае сложного движения точки.

Рассмотрим сложное движение точки, движущейся относительно системы которая, в свою очередь, совершает некоторое движение относительно системы Пусть, кроме того, система совершает некоторое движение относительно системы , наконец, некоторая система совершает движение относительно системы Для определения скорости точки М относительно системы воспользуемся теоремой о сложении скоростей. Обозначим скорость точки относительно системы через а через V — скорость относительно системы той точки системы с которой в данный момент совпадает точка М. По теореме о сложении скоростей находим скорость точки М относительно системы

Обозначая далее через скорость относительно системы той точки системы с которой в данный момент совпадает точка М, по теореме о сложении скоростей получим значение скорости точки М относительно системы

Продолжая процесс, определим значение скорости точки М относительно системы

где — скорость относительно системы точки системы совпадающей в данный момент с точкой М.

Пример 14. Ползун А скользит по прямолинейному рельсу со скоростью Вокруг точки А ползуна вращается со скоростью со в вертикальной плоскости стержень АВ, по которому движется материальная точка М с относительной скоростью (рис. 41). Определить абсолютную скорость точки М.

Рис. 41

Рис. 42

Решение. Рассмотрим сначала систему, связанную со стержнем. Эта система вращается относительно поступательно движущейся системы, связанной с ползуном. Переносная скорость точки М равна и направлена ортогонально к стержню. Складывая эту скорость со скоростью получим скорость движения точки М относительно системы, жестко связанной с ползуном. Для определения абсолютной скорости точки М сложим скорость со скоростью поступательного движения системы вместе с ползуном.

Замечания. 1. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета можно определить радиус-вектором (рис. 42). Определяя положение начала подвижной системы координат радиус-вектором и положение точки М в подвижной системе координат радиус-вектором составим векторное равенство

справедливое для любого момента времени. Дифференцируя это соотношение, получим

Здесь дифференцирование левой и правой частей равенства должно быть выполнено в одной и той же системе координат, поэтому производная рассматриваемая в неподвижной системе координат,

не будет совпадать с относительной скоростью точки так же, как и не совпадает с переносной скоростью точки.

2. Относительное движение точки рассматривается относительно движущейся системы отсчета. Если же остановить подвижную систему, то изменится и характер относительного движения точки.

Пример 15. Пусть подвижная система отсчета вращается вокруг начала неподвижной системы с угловой скоростью Определить относительную скорость точки М, покоящуюся в неподвижной системе отсчета.

Решение. Рассмотрим точку М, неподвижную относительно неподвижной системы отсчета. Для определенности будем предполагать, что точка М находится на неподвижной оси Тогда абсолютная скорость точки М равна нулю. Ее переносная скорость и скорость относительно подвижной системы координат по величине равны произведению со-ОМ и направлены в противоположные стороны. Если же остановить подвижную систему, то скорость точки М относительно этой покоящейся системы координат будет равна нулю и не будет равна относительной скорости по отношению к системе, движущейся относительно неподвижной.

3. Переносная скорость точки не зависит от характера относительного движения точки, но зависит от ее положения в подвижной системе отсчета и от движения подвижной системы координат.