3. Обобщение теоремы и интеграла живых сил.

Рассмотрим прежде всего структуру выражения для живой силы системы материальных точек в самом общем случае. Выражая декартовы координаты точек системы через координаты Лагранжа, для проекций скорости получим выражения:

Подставляя эти значения в выражение для живой силы системы материальных точек, получим:

Здесь первая группа, стоящая в квадратных скобках, зависит только от обобщенных координат и времени, вторая скобка, кроме того, линейно зависит от обобщенных скоростей, третья является квадратичной однородной функцией обобщенных скоростей. Вводя обозначения

представим живую силу системы в виде

где — однородная квадратичная форма обобщенных скоростей, — линейная однородная форма обобщенных скоростей, а не зависит от обобщенных скоростей.

Движение системы материальных точек можно определить уравнениями Лагранжа второго рода

Умножая каждое из этих уравнений на обобщенные скорости и складывая полученные результаты, будем иметь

что можно еще записать иначе

В силу теоремы Эйлера об однородных функциях имеем

поэтому полученный результат будет иметь вид

или

Умножая это уравнение на получим обобщение теоремы живых сил

где первая сумма правой части представляет собой работу всех обобщенных сил на действительном перемещении системы. В частном случае, когда связи, наложенные на систему, не зависят явно от времени, будем иметь

поэтому и живая сила будет представлять собой однородную квадратичную форму относительно обобщенных скоростей

В этом случае из уравнения (а) непосредственно следует теорема живых сил

Если связи, наложенные на систему материальных точек, зависят явно от времени, но живая сила Т от времени явно не зависит, и если активные силы, действующие на систему, обладают силовой функцией зависящей только от координат, то из уравнения (а) сразу же получим

откуда, интегрируя, имеем

где — произвольная постоянная, определяемая из начальных условий. Полученный первый интеграл уравнений движения соответствует интегралу живых сил, но выведен в более общих предположениях. Он был впервые получен К. Якоби (1804—1851) и называется интегралом Якоби (в литературе иногда интеграл Якоби называют интегралом Пэнлеве). В частном случае, когда связи не зависят явно от времени, из интеграла Якоби непосредственно следует интеграл живых сил

Пример 101. Рассмотрим движение материальной точки в системе координат вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью

(по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz) (рис 205). Пусть приложенные к точке силы обладают силовой функцией Неподвижные и подвижные координаты точки связаны соотношениями

так что являются лагранжевыми координатами. Живая сила точки

Для определения абсолютной скорости запишем проекции ее относительной и переносной скорости на оси

Рис. 205

Рис. 206

Тогда проекции абсолютной скорости можно представить в виде

а для живой силы получим выражение

где

Здесь выполнены условия

а потому существует интеграл Якобн

который имеет вид

Пример 102. Система состоит из невесомого стержня О А длины вращающегося в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки О, и соединенного с ним шарнирно в точке А невесомого стержня длины свободно вращающегося в горизонтальной плоскости. На конце стержня закреплена точечная масса , на которую действует сила постоянное число) (рис. 206). Построить интеграл Якоби. Решение. Относительные координаты точки

Проекции переносной скорости равны:

Проекции абсолютной скорости на подвижные оси:

Для живой силы получаем выражение

где

Силовая функция

или, поскольку

Интеграл Якоби теперь получает вид

Пример 103. При помощи метода Рауса исследовать движение шарика в трубке, имеющей форму окружности и способной вращаться без трения вокруг вертикального диаметра. В начальный момент шарик относительно трубки находится в покое, а радиус составляет с вертикальным диаметром угол трубке в начальный момент соообщена угловая скорость вращения вокруг вертикального диаметра (рис. 207).

Решение. Пусть момент инерции трубки относительно вертикального диаметра равен — угол поворота трубки вокруг вертикального диаметра. Запишем выражения для живой силы и силовой функции системы:

Нетрудно видеть, что координата О является циклической. Ей соответствует циклический интеграл

из которого находим

Рис. 207

Движение шарика внутри трубки определяется координатой Для определения закона движения рассмотрим функцию Рауса

Движение системы, при котором не изменяются позиционные координаты, называется стационарным. Стационарному движению соответствует равновесие в позиционных координатах, Роль силовой функции в данной задаче играет

В положении равновесия шарика т. е.

откуда получаем два условия:

причем последнее равносильно уравнению

из которого находится угол Ф, Задача сводится к исследованию корней уравнения четвертой степени. Если есть решение этого уравнения, то будем иметь

Подставляя это значение в последнее уравнение, найдем

Закон движения определяется из уравнения

Последнее можно заменить интегралом живых сил, в котором с помощью циклического интеграла исключена переменная т. е.