§ 6. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
1. Основные положения.
Рассмотрим движение материальной точки, находящейся под действием силы, линия действия которой все время проходит через неподвижную точку О, принимаемую за начало координат. Такая сила, называемая центральной, может либо притягивать материальную точку к неподвижному центру О, либо отталкивать ее от этого центра.
Рис. 152
Отталкивающую силу условимся считать положительной, а притягивающую — отрицательной. Выше было установлено, что точка, движущаяся под действием центральных сил, описывает плоскую траекторию. Поэтому всегда можно систему неподвижных осей 
выбрать так, чтобы плоскость движения точки совпадала с плоскостью 
. В дальнейших рассуждениях координаты движущейся материальной точки будем обозначать через х и у.
Так как для центральной силы момент относительно центра силы всегда равен нулю, движение будет происходить по закону площадей и будет подчиняться закону площадей
Здесь в левой части имеем момент вектора скорости 
точки относительно начала координат, поэтому постоянная С по величине равна удвоенной площади треугольника (рис. 152), основанием которого служит вектор скорости точки, а вершина находится в центре сил. Другими словами
где 
— длина перпендикуляра, опущенного на линию действия вектора скорости точки.
Движение точки, вызываемое центральными силами, называют центральным движением. При изучении центральный движений бывает удобно ввести в рассмотрение полярные координаты точки 
при помощи формул преобразования
Тогда, полагая, что за время 
полярный угол 
изменится на величину 
а полярный радиус 
— на величину 
получим с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка приращение заметаемой полярным радиусом площади за время 
Удвоенная секторная скорость будет равна
Кроме теоремы об изменении момента количества движения для исследования движения можно применить теорему живых сил, которая в данном случае запишется в виде
так как
Если к тому же центральная сила зависит только от положения материальной точки и обладает силовой функцией, то существует интеграл живых сил
Таким образом, два первых интеграла — интеграл площадей и интеграл живых сил будут определять движение материальной точки, находящейся под действием центральной силы.
В задачах небесной механики применяется еще один векторный интеграл уравнений движения материальной точки, находящейся под действием центральных сил — интеграл Лапласа. Этот интеграл имеет место для центральной силы притяжения материальной точки к неподвижному центру, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния материальной точки до притягивающего центра. Такую силу принято называть силой ньютонианского тяготения
Здесь 
масса материальной точки; 
коэффициент пропорциональности. Уравнение движения материальной точки в векторном виде после сокращения на 
можно записать так:
Если еще обозначить через с вектор момента количества движения материальной точки, разделенный на массу
(вектор, перпендикулярный к плоскости движения материальной точки), то можно будет рассмотреть векторное произведение
Но так как
а
то
Отсюда следует еще один первый векторный интеграл уравнений движения материальной точки в случае центральных движений
который называется вектором Лапласа. Можно показать, что интеграл площадей, интеграл живых сил и вектор Лапласа не являются независимыми величинами.
