Теорема Четаева о неустойчивости движения.

Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области существующей в сколь угодно малой окрестности невозмущенного движения, производная которой взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы определенно положительной в области то невозмущенное движение неустойчиво.

Доказательство. Функция V ограничена в области так что в этой области

где — некоторое положительное число. Покажем, что не существует такого положительного числа к, для которого при всех начальных возмущениях, удовлетворяющих условию

и при всех не нарушается неравенство

Доказательство будем вести от противного. Пусть такое число к существует и в то же время выполняются условия теоремы. Выберем начальные возмущения так, чтобы имели место условия

Так как V — знакоопределенная положительная функция, то для значений координат удовлетворяющих неравенству

найдется такое что будем иметь

Тогда из соотношения

получим

где правая часть неограниченно растет вместе с Совместно с неравенством последнее неравенство может существовать лишь для значений не превосходящих величины

Этим и обнаруживается неустойчивость.

Пример 138. Рассмотрим устойчивость постоянных вращений тяжелого твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке в случае Эйлера.

Постоянными осями вращения, как было показано выше, являются главные оси эллипсоида инерцин твердого тела, построенного для неподвижной точки. Таким образом, постоянным вращением будет движение

удовлетворяющее уравнениям Эйлера. Для аналитического исследования устойчивости этого движения рассмотрим возмущенное движение

Тогда уравнения возмущенного движения запишутся следующим образом:

Уравнения Эйлера допускают два первых интеграла

из которых можно получить

Отсюда легко пол учить первые интегралы уравнений возмущенного движения:

Составим функцию Ляпунова в виде комбинации этих первых интегралов:

При (знак плюс) — эта функция знакоопределения положительная, при (знак минус) — функция знакоопределенная отрицательная. Производная от функции V, взятая в силу систем уравнений возмущенного движения, тождественно равна нулю, так что функция V удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения, т. е. постоянные вращения твердого тела вокруг наибольшей и наименьшей полуосей эллипсоида инерции устойчивы.

Неустойчивость вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции (когда доказывается рассмотрением функции

Ее производная, взятая в силу уравнений возмущенного движения,

Если то неустойчивость непосредственно следует из уравнений возмущенного движения. Если то V определенно положительна в области Таким образом, на основании теоремы Четаева о неустойчивости движения, вращение вокруг средней полуоси эллипсоида инерции неустойчиво.

Пример 139. В качестве второго примера рассмотрим задачу об обращении теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. Будем предполагать, что на механическую систему с голономными идеальными связями, не зависящими явно от времени, действуют консервативные силы с силовой функцией

являющейся однородной формой -ного порядка, и движение в окрестности положения равновесия определяется каноническими уравнениями Гамильтона:

Покажем, что если функция не имеет в положении равновесия максимума, то это положение равновесия неустойчиво.

Для доказательства рассмотрим функцию Четаева вида

Область, где выполняются условия

будет областью Представим живую силу в виде

где — некоторые постоянные величины, а — функции обобщенных координат, обращающиеся в нуль, когда все равны нулю. Рассмотрим производную взятую в силу системы дифференциальных уравнений. Имеем

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой знакоопределенную в области функцию переменных поэтому будем иметь в области и положение равновесия оказывается неустойчивым. Таким образом, если силовая функция не имеет в положении равновесия максимума и является однородной формой, то такое положение равновесия неустойчиво.