2. Формулы Бине
Формулы Бине дают некоторые удобства при рассмотрении центральных движений. Для получения этих формул рассмотрим скорость движения материальной точки в полярных координатах
Определив из интеграла площадей
представим выражение для скорости в Виде
Если же сделать замену
то выражение для скорости приобретет вид
Полученная формула называется первой формулой Бине для определения скорости материальной точки. Формула позволяет определять скорость материальной точки, движущейся в центральном силовом поле, если известна траектория точки и ее секторная скорость.
Вернемся к теореме живых сил, которую запишем в виде
Разделив обе части этого равенства на и подставляя сюда выражение скорости, полученное из первой формулы Бине, найдем
Подставляя в левую часть
и сокращая на получим
Эта формула носит название второй формулы Бине для определения центральной силы, действующей на материальную точку, если известны траектория точки и ее секторная скорость.
Формулы Бине позволяют разрешать и обратную задачу — нахождение тректории точки по заданной центральной силе, действующей на эту точку. В этом последнем случае задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка.
Пример 69. Материальная точка массой описывает окружность радиуса Какой должна быть центральная сила, если ее центр находится на окружности (рис. 153)?
Рис. 153
Решение За полярную ось примем диаметр окружности, проходящий через центр силы. Тогда уравнение траектории запишется в виде
или
Вычислим производные от
Подставляя эти значения в формулу Бине для силы, будем иметь
откуда видно, что на точку действует центральная сила притяжения, обратно пропорциональная пятой степени расстояния точки от притягивающего центра Величина силы зависит от закона движения точки по траектории. Если
предположить, что в наиболее удаленной точке траектории скорость равна то постоянная площадей и для силы получим значение
Пример 70. Точка описывает эллипс
под действием силы притяжения к его центру. Определить эту силу.
Решение. Введем полярные координаты
Тогда, заменив х и у в уравнении эллипса, получим
или
Вычислим производные от
Подставляя эти значения в формулу Бине для силы, будем иметь
или после приведения подобных членов
Сила будет полностью определена, если будет известен закон движения точки, для чего достаточно определить постоянную площадей.