§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
1. Основные динамические характеристики.
Будем рассматривать твердое тело, у которого закреплена неподвижно одна точка. Определим сначала живую силу и момент количества движения такого тела. Для этого выберем неподвижную систему координат с началом 
в неподвижной точке. Мгновенное движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется вектором мгновенной угловой скорости 
линия действия которого проходит через неподвижную точку 
Свяжем с твердым телом систему подвижных осей 
(рис. 225), движущуюся вместе с телом. Проекции вектора 
на подвижные оси 
обозначим через 
Рис. 225
Скорость произвольной точки М твердого тела определяется по формуле Эйлера
а проекции скорости на подвижные оси — матрицей
так что
Живая сила твердого тела.
Из определения живой силы имеем
Правая часть этой формулы представляет собой однородную квадратичную форму относительно величин 
и может быть записана в виде
где коэффициенты А, В, С, D, Е, F имеют вид
и представляют собой моменты инерции относительно подвижных осей координат и произведения инерции. Все эти величины не изменяются при движении твердого тела.
Момент количества движения.
По определению, момент количества движения твердого тела относительно начала координат является вектором, равным сумме моментов количества движения точек твердого тела
Для проекций этого вектора на оси координат будем иметь
или
Таким образом,
Последние формулы можно записать в виде
откуда видно, что момент количества движения является линейной вектор функцией угловой скорости Q (здесь 
тензор инерции, построенный для точки 
твердого тела).
Некоторые свойства движения твердого тела с одной неподвижной точкой.
Если рассмотреть поверхность эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки твердого тела, уравнение которой в общем случае записывается в виде
то вектор мгновенной угловой скорости Й будет пересекать эту поверхность в некоторой точке 
(рис. 226), и в силу коллинеарности векторов Q и 
будем иметь
где 
— проекции вектора Q на оси х, у, z, неизменно связанные с твердым телом.
Рис. 226
Рис. 227
В точке Р построим вектор нормали к поверхности эллипсоида, компоненты 
которого будут пропорциональны частным производным
где а — некоторый коэффициент пропорциональности. Подставляя сюда значения частных производных, будем иметь
Последние равенства являются условием параллельности векторов а и 
а следовательно, вектор а будет всегда ортогонален к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке Р.
