Устойчивость консервативных систем.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция Представим ее в виде произведения

где А, — некоторое постоянное число. Если окажется, что функция при будет исчезающей при любом и неограниченной при любом то число А, называют характеристическим показателем Ляпунова функции (Характеристические показатели впервые были введены А. М. Ляпуновым, но с противоположными знаками, по сравнению с определенными выше).

Рассмотрим систему уравнений в вариациях Пуанкаре. Пусть имеется некоторое решение этой системы и пусть — наибольший из характеристических показателей функций

Представим решение в виде

Тогда функции будут иметь только нулевые или отрицательные характеристические показатели и будут либо исчезающими, либо ограниченными. Число называется характеристическим показателем решения уравнений в вариациях Пуанкаре.

Предположим, что имеется еще одно частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре с характеристическим

показателем решения X. Записывая инвариант Пуанкаре для этих решений, будем иметь

Сумма является исчезающей или ограниченной функцией, поэтому условие выполняется только тогда, когда имеет место неравенство или равенство

т. е. хотя бы однн из характеристических показателей к должен быть неотрицательным.

Предположим, что характеристический показатель Это значит, что среди функций имеется хотя бы одна, неограниченно возрастающая при и невозмущенное движение неустойчиво. Невозмущенное движение может быть устойчивым только тогда, когда ограничены все возмущения, т. е. когда все характеристические показатели решений уравнений в вариациях неположительны. Так как всегда существует два решения уравнений в вариациях, для которых

то невозмущенное движение консервативной системы может быть устойчивым только тогда, когда все характеристические показатели решений уравнений в вариациях равны нулю.