§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА

Будем рассматривать инвариантные и ковариантные свойства уравнений движения. Инвариантными относительно преобразований называются такие уравнения, которые не изменяются, при переходе от одной системы отсчета к другой. Уравнения, остающиеся справедливыми в силу того, что их члены, не являющиеся инвариантными, преобразуются по одним и тем же законам, называются ковариантными относительно данного преобразования.

Уравнения классической механики ковариантны относительно преобразований Галилея, но не ковариантны относительно

преобразований Лоренца. Чтобы уравнения оставались ковариантными относительно преобразований Лоренца, необходимо иначе определить основные понятия динамики.

Как и в классической динамике, будем рассматривать движение материальной частицы. Заметим прежде всего, что закон инерции инвариантен относительно преобразований Лоренца, т. е. если частица движется без ускорения относительно инерциальной системы то она будет двигаться без ускорения и относительно другой инерциальной системы Для нахождения ковариантпой формы уравнений движения их нужно представить четырехмерными векторами.

Состояние движения частицы в данный момент времени полностью определяется ее массой и скоростью. Введем понятие массы покоя которая определяет инерционные свойства частицы и не меняется при изменении системы отсчета.

Количество движения точки определим четырехмерным вектором

или, в проекциях на оси,

Тогда в предельном случае, когда будем иметь

Естественным обобщением уравнений Ньютона теперь будут уравнения Минковского.

где — четырехмерный вектор, называемый силой Минковского. Ковариантный характер уравнений Минковского будет следовать непосредственно из свойств четирехмерных векторов. Расписывая уравнения в проекциях на оси х, у, z, t, будем иметь

Потребуем, чтобы в правых частях первых трех уравнений стояла компонента обычной силы классической механики, т. е.

тогда при формулы превращаются в обычные уравнения

Ньютона для точки с постоянной массой. Для четвертой компоненты здесь будем иметь

Чтобы выяснить физический смысл компоненты рассмотрим инвариант

Дифференцируя его по получим

и после подстановки значений производных

или

Отсюда

Правая часть этой формулы содержит работу, производимую силой F за единицу времени. Подставляя значение Фт. получим

Если в правой части стоит выражение работы силы за единицу времени, то в левой части должно быть изменение энергии за единицу времени. Выражение, стоящее в левой части под знаком производной, является полной энергией частицы

Уравнение движения частицы

теперь можно переписать в виде

откуда видно, что направление силы, действующей на частицу, вообще говоря, не совпадает, с направлением ускорения.

Представляя трехмерный импульс

в виде определим релятивистскую массу

Релятивистская масса зависит от состояния движения частицы и равна полной энергии, деленной на

Релятивистская энергия Е не обращается в нуль, если скорость частицы равна нулю. В этом случае получим энергию покоя

Оказывается, что масса покоя в раз меньше энергии покоя. При малых скоростях раскладывая энергию по степеням получим

Исключая скорость из выражения для импульса и энергии, будем иметь

Уравнения движения можно записывать и в обобщенных координатах Лагранжа. Для этого нужно прежде всего составить функцию Лагранжа. Для свободной точки она является величиной, производные от которой по компонентам скорости представляют проекции импульса, а производные по координатам — компоненты силы, т. е.

где силовая функция. Таким уравнениям удовлетворяет функция

и уравнения Лагранжа принимают вид

Зная функцию Лагранжа, можно найти и функцию Гамильтона

Но так как

то

т. е. в релятивистской динамике функция Гамильтона с полной энергией, выраженной через импульс частицы.