§ 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

При изучении движения твердого тела, у которого закреплена одна точка, положение такого тела удобно определять специальными углами, называемыми углами Эйлера. Тогда проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения твердого тела на оси координат могут быть представлены в зависимости от скоростей изменения углов Эйлера. Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой. За начало неподвижной системы координат выберем неподвижную точку твердого тела О. Подвижную систему координат неизменно свяжем с твердым телом, а начало подвижной системы координат также поместим в неподвижную точку О (рис. 82). Прямую линию, образованную пересечением

плоскостей назовем линией узлов. Положение твердого тела с одной неподвижной точкой определяется положением системы осей, неизменно связанных с твердым телом. Зададим его тремя независимыми параметрами, в качестве которых выберем углы Эйлера.

Обозначим через угол между осью и линией узлов, положительное направление угла будем отсчитывать от линии узлов к оси х таким образом, чтобы со стороны положительного направления оси оно было бы видно происходящим против хода часовой стрелки. Этот угол будем в дальнейшем называть углом собственного вращения.

Рис. 82

Угол между осью х и линией узлов назовем углом прецессии и будем измерять его от оси х к линии узлов так, чтобы положительное вращение было видно со стороны положительного направления оси происходящим против хода часовой стрелки.

Угол Ф между неподвижной осью и подвижной осью будем называть углом нутации и будем измерять его от оси z к оси так, чтобы положительное вращение было видно со стороны положительного направления линии узлов происходящим против хода часовой стрелки.

Углы и О называются углами Эйлера. Они полностью определяют положение твердого тела. В самом деле, изменение угла определяет отклонение оси от оси z. При постоянном значении угла О ось может вращаться вокруг оси При этом будет вращаться плоскость и угол прецессии будет изменяться. Если же, кроме того, угол прецессии сохраняет постоянное значение, то ось будет оставаться неподвижной. Тогда твердое тело будет иметь возможность лишь вращаться вокруг неподвижной оси . В таком движении положение твердого тела будет полностью определяться углом собственного вращения . В общем случае все три угла и Ф могут изменяться одновременно и независимо один от другого.

Мгновенное движение твердого тела определяется бесконечно малыми изменениями углов Эйлера. Пусть — скорости изменения углов

Рассмотрим три вектора из, характеризующие мгновенное движение твердого тела. Вектор направим по оси в ту сторону, откуда положительное изменение угла видно происходящим

против хода часовой стрелки. Величину вектора выберем равной скорости изменения угла Вектор направим по оси в ту сторону, откуда положительное изменение угла видно происходящим против хода часовой стрелки, а величину вектора выберем равной величине скорости изменения угла Вектор направим по линии углов в ту сторону, откуда положительное изменение угла Ф видно происходящим против хода часовой отрелки. Величину вектора выберем равной скорости изменения утла Ф.

Результирующее мгновенное движение твердого тела можно представить как сумму трех мгновенных вращений с мгновенными угловыми скоростями а результирующая угловая скорость будет равна

Обозначим через проекции вектора мгновенной угловой скорости со на подвижные оси Тогда для проекций получим следующие значения:

или, подставляя значения величин будем иметь

Полученные формулы носят название кинематических уравнений Эйлера.

Замечание о конечных перемещениях твердого тела.

В различных курсах теоретической механики закон распределения скоростей в твердом теле выводится из теоремы Шаля. Теорема Шаля о конечных перемещениях твердого тела строго доказывается для последовательных перемещений, следующих одно за другим. Существование единого предела, не зависящего от порядка последовательности перемещений, обычно в курсах не доказывается. Это же относится и к теореме Даламбера о конечных перемещениях.

В теореме Эйлера рассматривается не последовательность перемещений, следующих одно за другим, а сложное движение твердого тела в данный момент времени. Рассматриваемые в настоящей книге мгновенные винты определяют лишь распределение скоростей в данный момент времени. Их нельзя отождествлять с конечными перемещениями твердого тела.