4. Оптико-механическая аналогия.

Одним из важнейших открытий аналитической механики является оптико-механическая аналогия, обнаруженная Гамильтоном, который установил одинаковый вид канонических уравнений

для консервативных механических систем и для волновой теории света Гюйгенса. Дальнейшее развитие оптико-механической аналогии связано с именами Якоби, Пуанкаре, Гельмгольца, Четаева. Оптико-механическая аналогия играет немалую роль и при разработке современных проблем аналитической механики.

Сравним сначала оптический принцип Ферма с принципом наименьшего действия Якоби. Согласно принципу Ферма, луч в неоднородной среде распространяется по такому пути, чтобы время его движения

было минимальным, т. е. для действительного пути луча должно выполняться условие

Вводя коэффициент преломления света в среде , где с — скорость распространения света в пустоте, запишем этот принцип в виде

С другой стороны, для одной материальной точки принцип наименьшего действия Якоби дает

Сравнивая эти два принципа, можно заметить, что траектория светового луча совпадает с траекторией точки, если потребовать, чтобы выполнялось условие

где — некоторый коэффициент пропорциональности. При будем иметь

Полагая, что вблизи поверхности Земли показатель преломления является линейной функцией высоты z

где Н — высота атмосферы, получим

или

Считая отношение малым и пренебрегая членами второго порядка малости, отсюда находим (с точностью до аддитивной постоянной)

Следовательно, луч света движется как материальная точка, находящаяся под действием силы с силовой функцией, линейной относительно Такой вид имеет силовая функция для силы тяжести вблизи поверхности Земли. При произвольных начальных условиях тяжелая материальная точка движется вблизи поверхности Земли по параболе с вертикальной осью. Такой же вид будет иметь и путь светового луча. Это предложение остается справедливым при всех существующих гипотезах о природе света.

Аналогия между динамическими уравнениями движения и волновой теорией света была предложена Гамильтоном. В основе ее лежит предположение, что свет распространяется волновым фронтом, теория которого была разработана Христианом Гюйгенсом еще в 1690 г.

Пусть имеется оптически изотропная среда. В этой среде рассмотрим две близкие точки: Время, в течение которого свет распространяется из точки Р в точку является функцией координат точек

Рис. 257

Функцию V Гамильтон назвал характеристической. Принцип Гюйгенса заключается в том, что каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн. Поверхность, огибающая эти вторичные волны, указывает положение фронта действительно распространяющейся волны. Поэтому, если является фронтом световой волны в момент то огибающая вторичных волн, центрами которых являются точки, расположенные на , представляет собой фронт волны в момент (рис. 257). В изотропной среде световой луч распространяется по нормали к волновому фронту. Обозначая через направляющие косинусы нормали к поверхности волнового фронта в точке Р, а через — направляющие косинусы нормали в точке волнового фронта запишем уравнение поверхности в виде

где — бесконечно малое перемещение вдоль поверхности .

Характеристическая функция V сохраняет постоянное значение вдоль поверхности , поэтому при неизменном времени получим

Сравнивая и получим

Аналогичное соотношение будем иметь для фронта волны

Из уравнений и тождеств

можно найти величины как функции от что полностью определяет поведение светового луча в среде. Таким образом, функция V определяет изменение системы световых лучей.

Переход от переменных к переменным можно рассматривать как преобразование переменных. Преобразование это является каноническим, или контактным (Софус Ли). В самом деле, функция V определяет преобразование поверхности 2 в поверхность Дифференцируя V, получим

а это и есть условие канонического преобразования.

Пусть — скорость распространения света в точке Р, направленная ортогонально к фронту волны , а путь, который проходит луч света из точки Р за время Тогда Положив скорость распространения света в пустоте равной единице, для показателя преломления среды в точке Р будем иметь Тогда

Рассуждая аналогично, для перемещения луча из точки получим

а изменение характеристической функции V равно

Сравнивая это с находим

т. е. коэффициент пропорциональности представляет собой показатель преломления. Введем новую систему переменных:

Тогда

Функция V определяет преобразование переменных в переменные Распространение света по лучу представляется как каноническое преобразование.

Рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование на малом интервале времени Положим

(с точностью до малых величин). Тогда уравнение примет вид

Отсюда, пренебрегая малыми величинами, получим

Вводя обозначение

будем иметь

С другой стороны,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим

В силу формул в пределе будем иметь

поэтому

По форме эти уравнения совпадают с уравнениями Гамильтона. Вся система может рассматриваться как аналитическое выражение бесконечно малого преобразования, определяющего перемещение волнового фронта из данного положения в бесконечно близкое.

Используя волновую теорию света, Гамильтон получил возможность написать уравнения динамики в форме, зависящей лишь от одной функции Н. Дальнейшим развитием теории распространения света занимались Коши, Кирхгоф, Максвелл, Гельмгольц и другие физики. Коши поставил задачу о дальнейшем развитии оптико-механической аналогии. В рамках аналитической механики этой задачей занимался немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925). Развитие аналогии следует искать в области колебательных движений, поскольку свет представляет собой некоторый колебательный процесс. Аналогией между математической теорией света Коши и устойчивыми движениями голономной консервативной системы занимался Н. Г. Четаев (1902—1959), но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки нашего курса.