§ 5. РАВНОВЕСИЕ НИТИ

Задача о равновесии нити очень распространена в инженерной практике. С ней связаны вопросы определения натяжений электрических проводов, цепей висячих мостов, тросов канатных дорог и т. д. Вместе с тем многие прикладные задачи механики нити не имеют теоретического решения до настоящего времени. Особенно большие затруднения вызывают задачи динамики нити, имеющие большое прикладное значение, например в текстильной промышленности.

Механикой нити стали заниматься сразу же после открытия дифференциального исчисления. И. Бернулли изучал равновесие тяжелой однородной нити и установил форму цепной линии. Дальнейшее развитие механики нити связано с именами Эйлера, Резаля, Кельвина, Рауса.

Рис. 140

1. Уравнения равновесия.

Рассмотрим задачу о равновесии гибкой нерастяжимой и несжимаемой нити длиной закрепленной своими концами в неподвижных точках А и В (рис. 140), на которую действуют непрерывно распределенные силы. Под нитью будем понимать систему материальных точек, сплошь покрывающих некоторую линию. В действительности всякая нить имеет толщину, но в тех случаях, когда длина нити достаточно велика по сравнению с толщиной, влиянием толщины можно пренебрегать. Обозначим через линейную плотность нити, т. е. отношение массы какого-либо элемента нити к его длине. Если обозначить элемент массы через а элемент длины через то плотность выразится в виде

Обозначим через длину дуги нити, отсчитываемую от какого-либо начала в определенном направлении. Для определенности примем за начало точку А и положительным будем считать направление от точки А к точке В вдоль нити. Выделяя на нити элемент будем предполагать, что внешние силы, действующие на этот элемент, можно представить одной силой приложенной в некоторой точке элемента. Проекции этой силы на неподвижные оси координат равны где X, Y, Z — проекции вектора F, который назовем силой, отнесенной к единице длины. Пренебрегая размерами элемента будем рассматривать его как одну материальную точку с массой находящуюся под действием силы связанную с соседними элементами. Координаты этой точки обозначим через , а ее возможные перемещения через

Чтобы из принципа возможных перемещений получить уравнения равновесия нити, нужно вычислить сумму работ всех активных сил на произвольном возможном перемещении всей нити, принимая во внимание, что возможные перемещения стеснены условием нерастяжимости и несжимаемости нити. Для этой цели можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Элементарная работа силы действующей на элемент на возможном перемещении элемента имеет вид

Сумма элементарных работ

Условия связи, накладываемые на возможные перемещения элемента нерастяжимостью и несжимаемостью элемента, запишутся в виде равенства

откуда

или, если обозначить

получим

Умножая это уравнение на неопределенный множитель X и интегрируя по длине нити, будем иметь

где множитель X является функцией и имеет свое особое значение для каждого элемента Складывая (а) и (b, запишем условие Лагранжа

На концах нити возможные перемещения удовлетворяют следующим условиям:

причем справедливы равенства

В самом деле, рассматривая координаты х, у, z элемента как функции длины дуги с точностью до малых второго порядка будем иметь

тогда

и уравнение можно будет переписать в виде

Интегрируя по частям

и принимая во внимание, что получим

Аналогичные формулы имеют место для После такого преобразования уравнение перепишется в виде

Чтобы отсюда получить уравнения равновесия, следуя методу Лагранжа, необходимо приравнять нулю коэффициенты при т. е. положить

в каждой точке нити. Полученные уравнения являются уравнениями равновесия нити с множителями Лагранжа. После исключения из этих уравнений X получим уравнение кривой, определяющей форму нити при ее равновесии.

Переписывая уравнение в виде

заметим, что вторые части этих уравнений представляют собой равнодействующую сил реакций, действующих на элемент со стороны соседних элементов.

Рис. 141

Рис. 142

Для идеально гибкой нити такими силами реакции являются только силы натяжения нити направленные вдоль нити (рис. 141). Сумма проекций этих сил на ось х имеет вид

где — косинус угла между положительным направлением оси х и положительным направлением касательной к нити. Сравнивая это уравнение с получим

Отсюда видно, что множитель X определяет силу натяжения нити, а уравнения равновесия нити можно представить в виде