Особенные случаи движения твердого тела. Спящий волчок.

До сих пор предполагалось что эквивалентно условию

т. е. тому, что в начальный момент не происходит чистого вращения вокруг оси Пусть теперь Тогда могут представиться следующие три различных случая:

Возвращаясь к первоначальным обозначениям, эти три условия можно записать в виде

Функция для этого случая запишется в виде

она имеет всегда один корень, равный единице. Два других корня определяются из условия

При полином будет иметь один корень на интервале (рис. 241), поэтому движение будет происходить на интервале от «1 до 1, когда верхняя окружность стягивается в точку, причем принимает неопределенное значение в этой точке, т. е. полюс не является точкой возврата.

Если положить то полином будет иметь оба корня на интервале от —1 до +1. Движение в этом случае было рассмотрено выше.

Рассмотрим случай Для получим выражение

откуда следует, что единица является двукратным корнем полинома Соответствующее этому случаю движение получим, если динамически симметричное твердое тело быстро закрутить около его оси симметрии, отклоненной от вертикали. Тело, обладающее этим свойством, вскоре получит установившееся движение вокруг оси, близкой к вертикальной, и называется спящим волчком.

Если в начальный момент то хотя бы один из корней полинома обращается в единицу, поэтому

откуда следует, что Тогда

Два оставшихся корня обращают в нуль квадратную скобку.

Из интеграла живых сил

при выбранных начальных условиях имеем

откуда следует

а полином получает вид

Пусть и корень уравнения

т. е.

причем всегда выполняется условие Здесь может представиться три случая:

В первом из них будем иметь и область возможного движения будет ограничена корнями Уравнение здесь получает вид

откуда, разделяя переменные, будем иметь

Рассматривая движение, начинающееся из некоторого положения внутрь интервала увидим, что время движения определяется интегралом

и если ось симметрии движется вниз до параллели то этот интеграл будет конечным. Если же проследить движение из положения до вертикального положения оси симметрии, то можно заметить, что интеграл будет расходящимся и время движения будет стремиться к бесконечности, т. е. ось симметрии никогда не вернется в вертикальное положение, неограниченно к нему приближаясь.

В том случае, когда полином имеет двойной корень выполняется условие

а третий корень полинома будет больше единицы и вертикальное положение волчка будет устойчивым. Если же то условия устойчивости выполняться не будут, так как ось симметрии будет отклоняться от вертикали на конечное расстояние.