§ 5. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов исследования движения является приложение теории дифференциальных уравнений к исследованию малых движений системы вблизи ее положения равновесия. Этот раздел механики выделился в настоящее время в самостоятельную дисциплину, которая и называется теорией малых колебаний.

Теория малых колебаний является приближенной теорией движения механических систем вблизи положения равновесия или определенного состояния движения. Изучение колебательных процессов имеет первостепенное значение для самых разнообразных разделов физики. Начало современного учения о колебаниях относится к классическим работам Галилея, Гюйгенса, Ньютона, Лагранжа. В основе теории лежат приближенные методы исследования движения в окрестности положения равновесия. Предположение о малости колебаний значительно упрощает математическую сторону задачи, позволяет ограничиться линейными дифференциальными уравнениями движения. Результаты оказываются

справедливыми, когда рассматриваются колебания около устойчивого положения равновесия.

Общность теории является наиболее важным ее свойством, а благодаря малости движений появляется возможность сильных упрощений уравнений движения.

1. Малые колебания системы с одной степенью свободы.

Прежде чем рассматривать общие методы теории малых колебаний механической системы, остановимся на некоторых задачах о колебании системы с одной степенью свободы и, в частности, о колебаниях одной материальной точки.

Систему материальных точек с одной степенью свободы, совершающую колебательные движения около положения равновесия, называют осциллятором. Простейшим движением такой системы является гармоническое колебание. Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. В частном случае гармоническим осциллятором является материальная точка, совершающая прямолинейное движение под действием силы, пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, направленной в каждый момент в сторону положения равновесия. Такая сила всегда стремится вернуть точку в положение равновесия. Физическая природа силы может быть самой разнообразной, но проще всего ее представить как упругую силу, подчиняющуюся закону Гука.

Выбирая начало координат неподвижной системы отсчета в положении равновесия точки и направив ось х вдоль прямой, по которой движется точка, для живой силы и силовой функции точки получим выражения:

Тогда уравнение Лагранжа будет иметь вид

или

Общее решение этого уравнения, как известно, имеет вид

или

Движение точки по такому закону называют гармоническим колебанием. Коэффициент А называется амплитудой гармонического колебания, аргумент — фазой колебания, начальной фазой. Тогда будет периодической функцией с периодом

Период определяет время, в течение которого точка совершает одно полное колебание. Величина называется циклической, или круговой, частотой колебаний. Частота колебаний является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Она полностью определяется свойствами механической системы.

Состояние движения гармонического осциллятора в каждый момент времени определяется заданием значений его координаты х и скорости Для изображения этого состояния движения можно воспользоваться представлением движения на фазовой плоскости переменных х и и, рассматриваемых как декартовы координаты. Тогда каждая точка фазовой плоскости будет определять состояние движения осциллятора. Такую точку будем называть изображающей.

В общем случае колебаний системы с одной степенью свободы, подчиненной голономным идеальным связям, не зависящим явно от времени, живая сила и силовая функция системы представляются в виде

Для малых движений в окрестности положения равновесия величины и остаются малыми, если в положении равновесия Тогда коэффициент и силовую функцию можно представить в виде степенных рядов

Так как является положением равновесия, то Пренебрегая в выражениях для живой силы и силовой функции членами выше второго порядка малости, будем иметь:

где — постоянные величины, причем Уравнение для малых движений примет теперь вид

При система будет совершать колебательные движения в окрестности положения равновесия.

При движении системы изображающая точка описывает некоторую кривую на фазовой плоскости — фазовую траекторию

(эта траектория не является траекторией материальной точки в кинематическом смысле). Скорость движения изображающей точки называют фазовой скоростью.

Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора, нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Если

то фазовой траекторией будет эллипс

При изменении начальных условий в общем случае будет меняться амплитуда колебаний. В результате получим семейство подобных эллипсов (рис. 259), представляющее фазовый портрет гармонических колебаний.

Уравнение гармонического осциллятора допускает первый интеграл — интеграл живых сил

где постоянная определяется начальными значениями координаты и скорости, т. е. начальным запасом полной механической энергии. Связывая значения скорости и координаты в каждой точке траектории, первый интеграл является конечным уравнением фазовых траекторий, которое и решает вопрос о движении системы. По фазовым траекториям можно выяснить направление движения изображающей точки. В самом деле, если скорость положительна, то х возрастает, т. е. в первой четверти фазовой плоскости изображающая точка движется в сторону увеличения абсциссы и т. д.