§ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Дифференциальные уравнения движения механической системы дают возможность определить в -мерном пространстве траекторию этой системы, соответствующую определенным начальным условиям и заданным силам. В теории возмущений будем сопоставлять эту траекторию с другими движениями системы, которые можно получить либо изменением начальных условий, либо изменением

сил, действующих на систему. Обе эти задачи имеют много общего и по методам решений и по характеру приложений.

1. Уравнения в вариациях Пуанкаре

Дают возможность изучать поведение траекторий в некоторой окрестности заданного движения.

Пусть движение механической системы с степенями свободы определяется каноническими переменными удовлетворяющими уравнениям Гамильтона

Заданному движению системы отвечает частное решение уравнений Гамильтона:

соответствующее определенным начальным условиям. В отличие от других движений, отвечающим другим начальным условиям, будем называть это частное решение невозмущенным движением.

Изменяя начальные условия, получим другие частные решения, которые будут давать возмущенные движения. Для возмущенных движений обобщенные координаты и импульсы представим в виде

Величины представляют возмущения, или вариации, координат и импульсов. Возмущенное движение удовлетворяет тем же каноническим уравнениям, что и невозмущенное:

или

Раскладывая правые части этих уравнений в ряды Тейлора, будем иметь

Отсюда получим уравнения для возмущений

Отбрасывая члены выше первого порядка малости, получим приближенные уравнения для вариаций

которые называются уравнениями в вариациях Пуанкаре. Эти уравнения играют очень важную роль при исследовании задач устойчивости невозмущенного движения.

Рассмотрим некоторые свойства уравнений в вариациях. Теорема 1. Если

суть два частных решения уравнения в вариациях Пуанкаре, то вдоль интегральной кривой выполняется соотношение

Величина называется инвариантом Пуанкаре.

Доказательство. Справедливость этого положения устанавливается непосредственным дифференцированием

Легко видеть, что после замены индексов суммирования правая часть тождественно обращается в нуль, что и доказывает предложение.

Теорема 2. Если функция

является первым интегралом уравнений Г амильтона, то выражение

представляет собой интеграл уравнений в вариациях Пуанкаре.

Доказательство. В самом деле, рассмотрим полные уравнения для возмущений

где — совокупность членов -того порядка относительно вариаций Так как — первый интеграл уравнений Гамильтона, то функция

также будет первым интегралом. Разложим функцию в ряд по степеням

где — совокупность членов -того порядка относительно и Так, например, при

Так как

то

Вычисляя эту производную, будем иметь

или

что можно переписать в виде

Голоморфная функция тождественно уничтожается лишь в случае, когда тождественно уничтожается по отдельности совокупность членов любого порядка, откуда

а это и есть полная производная от по времени в силу уравнений в вариациях

Таким образом, функция

является первым интегралом уравнений в вариациях.

Теорема 3. Если

где - функции времени, — линейный интеграл уравнений в вариациях Пуанкаре, то уравнения в вариациях Пуанкаре допускают решение

Доказательство. Так как — первый интеграл уравнений в вариациях, то

или

Равенство должно выполняться при любых значениях поэтому

Если положить то получим уравнения в вариациях Пуанкаре, что и доказывает теорему.

4. Теорема Пуассона (см. «Скобки Пуассона»). Пусть уравнения Гамильтона имеют два первых интеграла:

В этом случае, как это показано выше, уравнения в вариациях Пуанкаре имеют два первых интеграла:

(см. теорему 2 об уравнениях Пуанкаре). На основании теоремы 3 уравнения в вариациях допускают частные решения:

Имея два частных интеграла, составим интегральный инвариант Пуанкаре:

Это выражение уже не зависит от переменных , следовательно, является первым интегралом исходных канонических уравнений Гамильтона. Мы доказали теорему:

Если известно два первых интеграла уравнений Гамильтона, то скобки Пуассона еще один первый интеграл

Теорема Гельмгольца (1821—1894). Изменение в первоначальной системе какой-нибудь координаты за произвольный промежуток времени, вызванное изменением импульса в начальный момент времени, равно и противоположно по знаку изменению в обращенном движении за этот же промежуток времени координаты вызванному таким же по величине изменением «начального» импульса

Доказательство. Рассмотрим возмущенное движение, определяемое начальными условиями.

Пусть — возмущения для этого движения в момент и возмущенное движение с начальными возмущениями в момент для которого в момент будем иметь

Для двух частных решений имеет место инвариант Пуанкаре

После подстановки рассматриваемых решений получим

Если то отсюда имеем

т. е. уравнения движения механических систем являются как бы обратимыми.

Гельмгольцем дано следующее физическое истолкование этого результата: если системе сообщить небольшой импульс то он может быть измерен вызванным им изменением одной из величин Изменение приводящее к изменению одного импульса может быть реализовано в обращенном движении, т. е. в движении системы, у которой в каждом положении скорости отличаются знаком от соответствующих этому положению скоростей в необращенном движении. Будущее обращенной системы совпадает с прошедшим первоначальной системы.

Следствие. Из свойств инварианта Пуанкаре, следует что каноническими уравнениями Гамильтона невозможно записать необратимые процессы.