§ 2. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной оси рассматривалась еще Гюйгенсом при разработке его замечательной теории движения физического маятника.

Представим себе абсолютно твердое тело, у которого закреплены две точки О и О (рис. 220). Прямая являющаяся осью вращения тела, остается неизменной во все время движения тела как по отношению к самому телу, так и по отношению к некоторой неподвижной системе координат . Для определенности выберем неподвижную систему координат с началом в точке О, направив ось вдоль оси вращения тела. Твердое тело будем рассматривать как совокупность материальных точек с

массами на которые действуют активные силы с проекциями на оси координат. Твердое тело может совершать только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Обозначим через со угловую скорость вращения твердого тела.

Рис. 220

Тогда проекции скоростей точек тела на неподвижные оси координат определятся из матрицы

которая дает

Для определения движения тела достаточно иметь всего одно уравнение движения, так как твердое тело имеет всего одну степень свободы. Связи же, наложенные на тело, допускают в каждый момент времени его поворот вокруг неподвижной оси Следовательно, можно применить теорему об изменении момента количества движения относительно оси Эта теорема приводит к уравнению движения

где — сумма моментов всех активных сил относительно оси z. Если через обозначить момент инерции тела относительно оси вращения, то

тогда

В технических задачах часто требуется определять величину опорных реакций. Обозначим через и силы реакций, приложенные в точках О и О; а через — расстояние между точками О и О. Реакции и будут иметь проекции на оси координат Для определения сил реакций освободим систему (твердое тело) от связей, заменив связи неизвестными силами реакций и действие которых эквивалентно действию связей. После освобождения от связей появятся новые возможные перемещения. В частности, будут возможны поступательные перемещения системы вдоль осей и повороты системы вокруг осей х и у. Это дает возможность применить теорему об изменении количества движения и теорему об изменении момента количества движения, откуда получим следующие уравнения:

где — суммы моментов активных сил относительно осей Для определения шести неизвестных величин имеем пять уравнений. Задача определения реакций остается неразрешенной. В самом деле, реакции Z и Z одновременно препятствуют поступательному перемещению системы вдоль оси z. Именно эти реакции нельзя определить по отдельности, а можно определить только их сумму. В этом заключается неопределимость задачи. Из кинематических уравнений для проекций скорости получим реакции действительных ускорений точек тела:

Подставляя эти значения в уравнения движения, будем иметь

Для определения четырех неизвестных X, Y, X, Y имеем четыре уравнения. Левые части этих уравнений являются известными функциями времени, поскольку движение системы, а следовательно, и закон изменения параметров системы, определяется из уравнения движения

Если выполняются условия

т. е. центр масс лежит на оси являющейся главной центральной осью инерции, то левые части уравнений тождественно равны нулю и тогда реакции определяются, как в статике.

Если ось не является главной центральной осью инерции, то при движении твердого тела в левой части первых двух уравнений будут существовать отличные от нуля коэффициенты при При больших значениях со эти коэффициенты представляют большие величины, следовательно и реакции тоже велики. Чтобы избежать больших реакций, ось вращения направляют по главной оси центрального эллипсоида инерции.

В частном случае, когда на твердое тело действуют активные силы, приводящиеся к равнодействующей, проходящей через точку О, уравнения движения дают

и твердое тело будет вращаться вокруг оси z с постоянной угловой скоростью. Рассмотрим в этом случае условия, при которых реакция в точке О обращается в нуль. Как видно из последних двух уравнений, это имеет место, если

т. е. ось должна быть главной осью инерции для точки О. При выполнении указанных условий твердое тело будет вращаться вокруг оси с постоянной угловой скоростью, не оказывая давления на вторую закрепленную точку. Такие оси называют постоянными, или перманентными, осями вращения твердого тела.

Предположим, что на твердое тело не действуют активные силы. Определим условия, при которых обе опорные реакции равны нулю. Условия эти следуют из уравнений движения и имеют вид

откуда следует, что ось должна быть главной осью инерции и на ней должен находиться центр тяжести твердого тела. Такая ось является главной осью центрального эллипсоида инерции. Оси, при вращении вокруг которых твердое тело, на которое не действуют внешние силы, не оказывает давления на закрепленные точки этой оси, называются свободными, или естественными, осями. Нетрудно заметить, что три перманентные оси можно всегда найти для каждой точки твердого тела. Такими осями являются главные оси инерции для соответствующих точек твердого тела. Свободных осей у твердого тела только три — главные центральные оси инерции.

Пример 113. Однородный тонкий диск радиуса и веса Р вращаетея вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Расстояние центра тяжести диска от оси вращения равно а. Ось симметрии диска образует с осью z угол а. Найдем реакции опор, предполагая, что расстояние между опорами равно (рис. 221)

Пусть в некоторый момент времени вертикальная плоскость симметрии диска совпадает с плоскостью . Освободим точки от связей и введем реакции . К освобожденному твердому телу применим теорему о движении центра масс. Заметим, что центр масс диска совершает вращательное движение по горизонтальной окружности вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Тогда вектор ускорения центра масс будет расположен в плоскости и направлен к оси вращения Величина его равна

Из теоремы о движении центра масс имеем

Для получения недостающих уравнений применим теорему об изменении момента количества движения относительно осей х и у. Проекции момента количества движения на соответствующие оси имеют вид

Дифференцируя их, получим

Для полного решения задачи необходимо вычислить соответствующие произведения инерции. Выберем в качестве новых координатных осей — центральные оси инерции диска, направив ось по оси симметрии диска, а ось в вертикальной плоскости симметрии диска перпендикулярно к оси Координаты связаны простыми формулами преобразования (в рассматриваемый момент времени):

Для тонкого диска так что

Тогда произведения инерции примут вид

где

Рис. 221

Рис. 222

Подставляя эти значения в формулы для определения реакций, будем иметь

При

При

После того как определены реакции X и Y, реакции Х и У определяются сразу из теоремы о движении центра масс:

Физический маятник.

Физическим маятником называют тяжелое твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Положение такого твердого тела определяется

углом который образует плоскость, проходящая через ось вращения и центр тяжести, с вертикалью (рис. 222). Обозначим момент инерции твердого тела относительно оси вращения через массу тела через М и пусть

где — радиус инерции маятника относительно оси вращения. Связи допускают поворот твердого тела вокруг горизонтальной оси, поэтому можно применить теорему об изменении момента количества движения относительно оси z

или

Полученное уравнение подобно по своей структуре уравнению движения математического маятника

Физический и математический маятники будут совершать колебания с одним и тем же периодом, если выполняется условие

Величина называется приведенной длиной физического маятника. Построим на линии точку О таким образом, чтобы имело место условие

Эту точку будем называть точкой качания (центром качания) физического маятника. Обозначим момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси z, через число назовем центральным радиусом инерции. По теореме Гюйгенса — Штейнера будем иметь

откуда

Подставляя это значение в формулу для приведенной длины физического маятника, получим

Отсюда видно, что I всегда больше, чем I, т. е. точка подвеса и центр качания расположены по разные стороны от центра тяжести твердого тела. Последнее условие можно переписать в виде

или

Полученная формула симметрична относительно точек О и О, а это значит, что последние можно поменять местами, т. е. при подвешивании маятника за точку О период останется прежним. При этом приведенная длина для точки О будет иметь вид

Отсюда непосредственно следует теорема Гюйгенса.

Теорема Гюйгенса. Точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные. Если центр качания принять за точку подвеса, то прежняя точка подвеса будет центром качания. Период колебания маятника при этом не изменяется.

В формуле для приведенной длины физического маятника величина I меняется в зависимости от положения точки подвеса маятника:

Следовательно, точки подвеса маятника, равноудаленные от центра тяжести, имеют одну и ту же приведенную длину, т. е. геометрическое место точек подвеса, обладающих одной и той же приведенной длиной (а следовательно, и одним периодом), суть две концентрических окружности с центром в центре тяжести (рис. 223). Между этими окружностями расположена окружность радиуса (что следует из соотношения На прямой 00 получим таким же образом четыре взаимные точки О, В, О, А, относительно которых маятник будет колебаться с одним периодом. Приведенной же длиной, очевидно, будет расстояние или т. е.

Обстоятельство это используется в оборотном маятнике Катера. Маятник состоит из двух шаров с разными массами. Между шарами на стержне укреплены два ножа, являющиеся точками подвеса маятника. Один из этих ножей неподвижен, другой может

перемещаться (рис. 224). Сначала за точку подвеса принимают один нож и определяют период колебаний Т, затем заставляют маятник качаться на втором ноже и, передвигая его, находят точку с тем же периодом. Измерив длину АВ, определяют приведенную длину Тогда из формулы

определяют ускорение силы тяжести

При определении приведенной длины физического маятника необходимо помнить, что расстояния точек О и О до центра тяжести маятника не совпадают, если

Рис. 223

Рис. 224

Рассмотрим теперь свойства физического маятника при подвешивании его за точки, расположенные на большей и меньшей окружностях. Для точек внешней окружности Твердое тело в этом случае называют маятником. Для точек внутренней окружности и твердое тело в этом случае называют коромыслом. Рассматривая производную

получим для маятника для коромысла При приближении центра масс к точке подвеса маятника уменьшается вместе с а следовательно, уменьшается и период маятника. Для коромысла приближение центра масс к точке подвеса увеличивает период, т. е. коромысло будет качаться медленнее. (Это обстоятельство в свое время было замечено при наблюдении за

часами Лондонского Вестминстерского аббатства, которые отставали. При уменьшении I часы сначала стали ходить быстрее. При дальнейшем уменьшении I часы стали замедлять свой ход.)

Задача о движении физического маятника является исторически первой разрешенной задачей динамики системы. Интерес к этой задаче возник в связи с вопросом об усовершенствовании часов и связан в первую очередь с именем Гюйгенса, хотя еще Галилей предлагал использовать маятник в качестве регулятора хода часов.