4. Сложение мгновенно-поступательных и мгновенно-вращательных движений твердого тела.

В общем случае движение твердого тела является сложным движением. Оно задается движением относительно некоторой системы отсчета, которая в свою очередь совершает движение относительно какой-то другой системы отсчета. Последняя тоже может совершать некоторое относительное движение и т. д. Рассмотрим некоторые конкретные случаи сложного мгновенного движения и распределение скоростей в этих случаях.

а) Сложение мгновенно-поступательных движений твердого тела.

Предположим, что в рассматриваемый момент времени твердое тело Т совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы отсчета со скоростью мгновенно-поступательного движения Пусть, кроме того, система сама совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы с мгновенно-поступательной скоростью система в свою очередь совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы с мгновенно-поступательной скоростью и т. д., и пусть, наконец, система совершает мгновенно-поступательное движение относительно системы с мгновенно-поступательной скоростью Рассмотрим произвольную точку М твердого тела Т. Эта точка участвует в сложном движении. Ее относительная скорость по отношению к системе равна по величине и направлению скорости При определении скорости точки М относительно системы заметим, что точка совершает сложное переносное движение. Каждая подвижная система совершает мгновенно-поступательное движение, а потому скорость точки М не зависит от ее положения. Относительно системы ее скорость определяется соотношением

Скорость относительно системы находим из равенства

а для скорости относительно системы имеем

или, окончательно, после подстановки значений

Теорема. В том случае, когда мгновенное движение твердого тела является результатом нескольких одновременных мгновеннопоступательных движений, результирующее движение тоже является мгновенно-поступательным, причем мгновенно-поступательные скорости складываются как свободные векторы.

б) Сложение мгновенных вращений, оси которых пересекаются.

Рассмотрим мгновенное вращение твердого тела Т относительно системы с мгновенной угловой скоростью Пусть система сама совершает мгновенное вращение с мгновенной угловой скоростью относительно некоторой неподвижной системы отсчета 5. Предположим, кроме того, что линии действия векторов пересекаются в некоторой точке О. Рассмотрим скорость произвольной точки М твердого тела Т, совершающей вместе с телом сложное движение. Движение тела Т относительно системы представляет собой мгновенное вращение с мгновенной угловой скоростью поэтому относительную скорость точки М получим из уравнения

Величина и направление переносной скорости точки определяются из условия, что подвижная система отсчета тоже совершает мгновенное вращение с угловой скоростью относительно системы Поэтому переносная скорость точки М будет равна

На основании теоремы о сложении скоростей теперь будем иметь

т. е. скорость произвольной точки твердого тела определяется формулой

Как мы уже знаем, такое движение является мгновенным вращением с мгновенной угловой скоростью Вектор результирующей мгновенной угловой скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной угловых скоростей, т. е.

а его линия действия проходит через точку О. Итак, если твердое тело совершает сложное мгновенное движение, состоящее из двух

одновременных вращений с угловыми скоростями и линии действия которых проходят через одну и ту же точку О, то результирующим движением будет также мгновенное вращение с мгновенной угловой скоростью которая представляет собой сумму мгновенных угловых скоростей с линией действия, проходящей через точку О.

Отсюда следует, что векторы можно переносить вдоль их линий действия и складывать по правилу параллелограмма, если их линии действия пересекаются, т. е. векторы скользящие.

Распространяя правило сложения векторов на случай трех и более вращений, получим следующую теорему.

Теорема. Если твердое тело Т совершает мгновенное вращение с угловой скоростью относительно системы которая сама вращается с угловой скоростью относительно системы система совершает мгновенное вращение относительно системы , наконец, система совершает мгновенное вращение относительно системы с угловой скоростью и если линии действия векторов пересекаются в одной точке, то результирующее движение твердого тела является мгновенно-вращательным движением с угловой скоростью которая определяется как геометрическая сумма векторов, т. е.

В частном случае, когда твердое тело участвует в двух мгновенных вращениях в противоположных направлениях с одинаковыми по величине угловыми скоростями, результирующее движение будет соответствовать состоянию покоя (система будет вращаться в одну сторону, а твердое тело вокруг той же оси — в противоположном направлении).

Рис. 45

Следствие. Добавление (или отбрасывание) к системе движений твердого тела двух равных мгновенных вращений в противоположных направлениях не изменяет мгновенного распределения скоростей в твердом теле.

Рассмотренные свойства мгновенных вращений позволяют установить кинематический смысл эквивалентных систем скользящих векторов который соответствует одному и тому же результирующему мгновенному движению твердого тела.

в) Пара вращений.

Пусть мгновенное движение твердого тела является сложным и состоит из мгновенного вращения подвижной системы координат вокруг неподвижной оси (пусть для определенности эта ось совпадает с осью с мгновенной угловой скоростью и мгновенного вращения в этой системе твердого тела

вокруг оси, параллельной оси вращения системы (параллельной оси но в направлении, противоположном вращению системы (рис. 45). Предположим, что величина мгновенной угловой скорости вращения твердого тела относительно системы равна величине мгновенной угловой скорости вращения подвижной системы 5. Такое мгновенное движение можно представить двумя скользящими векторами равными по величине, направленными в противоположные стороны и лежащими на параллельных прямых. Определяя скорость произвольной точки М твердого тела по теореме о сложении скоростей

и имея в виду, что подвижная система осей совершает мгновенное вращение со скоростью и, переносную скорость точки М определим по формуле Эйлера (рис. 45)

Мгновенное относительное движение тоже является мгновенным вращением, поэтому относительная скорость точки равна

Для определения абсолютной скорости получим соотношение

Нетрудно видеть, что величина и направление скорости произвольной точки твердого тела, участвующего в таком движении, не зависят от ее положения, а зависят лишь от расположения осей вращения. Скорости всех точек твердого тела оказываются равными по величине и по направлению. Такое движение твердого тела называется мгновенно-поступательным движением. Результат можно сформулировать в следующей теореме.

Теорема. Пара мгновенных вращений твердого тела эквивалентна одному результирующему мгновенно-поступательному движению, скорость которого равна по величине и направлению моменту этой пары.