Затухающие колебания.
До сих пор предполагалось, что всякое сопротивление движению системы со стороны среды отсутствует. Сопротивление воздуха, трение и другие подобные силы во внимание не принимались. Действие же сил сопротивления проявляется прежде всего в том, что процесс движения перестает быть чисто механическим. Механическая энергия системы переходит в другие виды энергии, как говорят физики, диссипируется. Имеется определенная категория случаев, когда движение в среде можно описать с помощью уравнений механики введением в последние некоторых дополнительных членов. При этом считается, что на точки системы действуют силы, зависящие только от скорости. Обобщенную силу в этом случае можно представить в виде отрицательной функции 
Если скорость точки достаточно мала, то можно считать, что сила сопротивления среды пропорциональна скорости, т. е.
Тогда уравнение движения примет вид
или
Общее решение этого уравнения зависит от характера корней характеристического уравнения
При 
корни этого уравнения действительны, при 
комплексны. В соответствии с этим получим два типа решений и два различных процесса движения: при 
затухающие колебания, при 
затухающее апериодическое движение.
Рис. 259
Рис. 260
В случае затухающих колебаний решение имеет вид
где 
— постоянные интегрирования).
На фазовой плоскости этому решению соответствует семейство спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат. С помощью преобразования
где
обозначив 
получим
или в полярных координатах
получим уравнение логарифмической спирали (рис. 260). Заметим, что при малых значениях величины 
называемой
логарифмическим декрементом затухания, спираль в течение каждого оборота близка к соответствующему кругу 
а в плоскости 
близка к эллипсу
