2. Движение материальной точки по поверхности.

Вторым важным для приложений случаем движения несвободной материальной точки является случай движения точки по поверхности.

Предположим, что в своем движении материальная точка все время остается на некоторой гладкой поверхности

которая стесняет ее перемещения.

Рис. 164

Форма и положение поверхности могут изменяться со временем, а сама поверхность оказывает воздействие на точку. Это воздействие можно определить некоторой силой, которую называют силой реакции. Она не препятствует перемещению точки по поверхности и направлена по нормали к поверхности (рис. 164), так как по предположению поверхность является гладкой. Аналитически это условие можно представить в виде

Движение точки полностью определяется двумя силами: активной силой F и силой реакции а уравнения движения имеют вид

Неизвестные величины можно заменить одной неизвестной величиной К, после чего уравнения перепишутся следующим образом:

Уравнение связывает координаты точки и является уравнением связи. Три уравнения движения вместе с уравнением связи полностью определяют движение материальной точки. Сами уравнения называются уравнениями Лагранжа с множителями.

а) Теорема живых сил.

При изучении движения несвободной материальной точки большое значение имеют общие теоремы динамики материальной точки, и в первую очередь теорема живых сил.

Если точка вынуждена оставаться на поверхности

и определен закон движения точки, то ее координаты являются некоторыми функциями времени, после подстановки которых в уравнение связи, последнее становится тождеством. Дифференцируя это тождество по времени, будем иметь

Здесь — проекции скорости точки на декартовы оси координат в действительном движении точки.

Чтобы получить теорему живых сил, умножим каждое из уравнений движения соответственно на и сложим результат

все это преобразуется к виду

и в результате получаем теорему живых сил для материальной точки, движущейся по поверхности.

Теорема. Изменение живой силы материальной точки равно работе заданных сил на действительном перемещении точки и некоторому дополнительному члену

представляющему работу сил реакций связи на действительном перемещении точки.

Если поверхность неподвижна и не изменяет своей формы, то

и теорема живых сил приобретает такой же вид, как и для свободной материальной точки, т. е.

Если, кроме того, активные силы обладают силовой функцией, то будет существовать интеграл живых сил

Для существования интеграла живых сил достаточно, чтобы связи не зависели явно от времени и активные силы обладали силовой функцией.

б) Естественные уравнения движения точки по поверхности.

Положение материальной точки на поверхности определяется двумя параметрами. Для нахождения зависимости этих параметров от времени необходимо иметь по крайней мере два дифференциальных уравнения движения. Одной теоремы живых сил теперь уже оказывается недостаточно. Уравнения движения в декартовых координатах часто оказываются очень сложными, поэтому приходится искать другие пути решения задачи о движении.

Предположим, что уравнение поверхности, на которой вынуждена оставаться материальная точка, не содержит явно времени. Точка в своем движении по поверхности опишет некоторую траекторию, полностью расположенную на этой поверхности. Рассматривая уравнения движения в проекциях на естественные оси координат (рис. 165), замечаем, что касательная к траектории будет расположена в касательной плоскости к поверхности, а нормальная реакция будет давать проекции только на нормаль и (бинормаль

Если активная сила на точку не действует, т. е. , то из первого уравнения находим

следовательно, точка будет двигаться по поверхности с постоянной скоростью. Из последнего уравнения движения следует, что а потому реакция будет расположена в соприкасающейся плоскости, т. е. нормаль к траектории будет совпадать с нормалью к поверхности.

Рис. 165

Рис. 166

Кривые, обладающие этим свойством, называются геодезическими. Таким образом, если на точку, движущуюся по поверхности, активные силы не действуют, то точка движется по геодезической кривой с постоянной по величине скоростью.

в) Движение точки по поверхности вращения.

Теорема Клеро. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки по поверхности вращения. Пусть ось z — ось симметрии поверхности. Если на точку не действуют активные силы, то точка будет двигаться по геодезической кривой образующей с меридианом угол (рис. 166), причем движение происходит с постоянной по величине скоростью. Единственной силой, действующей на точку, будет сила нормальной реакции поверхности направленная ортогонально к поверхности. Линия действия этой силы пересекает ось Из теоремы об изменении момента количества движения точки относительно оси z будем иметь

так что

Подставляя сюда явное выражение для момента количества движения, получим

Из постоянства массы и скорости отсюда сразу следует

т. е. вдоль геодезической линии поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус азимута есть величина постоянная. В этом соотношении заключается теорема Клеро (1713—1765).

Геодезические линии поверхности вращения легко определить, если взять за систему отсчета цилиндрическую систему координат. В этой системе дифференциал дуги

Пусть поверхность задана уравнением

Из интеграла живых сил при отсутствии активных сил получаем

или

Подставляя сюда из уравнения поверхности

будем иметь

Из интеграла площадей имеем

Определяя отсюда и подставляя в интеграл живых сил, получим

и после разделения переменных приходим к уравнению

интегрирование которого дает

Эти формулы определяют геодезическую кривую на поверхности вращения.

Замечания. 1. Уравнение исключает из рассмотрения цилиндрические поверхности вращения . В последнем случае откуда

Исключая при помощи интеграла площадей время, найдем

и, интегрируя найденное уравнение, получим

Это и есть уравнение винтовой линии.

2. Можно уравнения движения точки отнести к специальным осям имеющим начало в движущейся точке. Здесь - единичный вектор касательной к траектории точки, направленный в сторону движения; — единичный вектор внутренней нормали к поверхности, а единичный вектор расположен в касательной ллоскости перпендикулярно к так, чтобы векторы образовывали правую систему (рис. 167). Обозначим через угол между направлением главной нормали траектории и вектором Проектируя уравнения движения на оси получим

Первое и второе уравнения определяют движение точки по поверхности, последнее же служит для определения реакции поверхности.

В целях дальнейшего преобразования уравнений рассмотрим произведение

Скалярное произведение в силу ортогональности векторов равно нулю, так что

Для всех траекторий, имеющих одну и ту же касательную в точке, будем иметь

поэтому

Рис. 167

Рис. 168

Для траектории, расположенной в плоскости нормального сечения, имеем Если обозначить через радиус кривизны нормального сечения, то получим

т. е. радиус кривизны произвольной кривой на поверхности вращения по своей абсолютной величине равен проекции на ее соприкасающуюся плоскость радиуса кривизны нормального сечения, имеющего с траекторией общую касательную (теорема Менье). Теперь уравнения движения можно представить в виде

где — радиус кривизны нормального сечения, а величина называется радиусом геодезической кривизны (рис. 168).

г) Сферический маятник.

Рассмотрим задачу о движении тяжелой материальной точки по поверхности сферы. Связь эта может быть реализована в виде нерастяжимого и несжимаемого стержня, не имеющего массы, соединяющего точку с началом координат. На точку действует сила тяжести и сила реакции направленная вдоль стержня. Если реакция всегда направлена

к центру, то связь можно осуществить при помощи нерастяжимой идеальной нити. Уравнение связи имеет вид

и не содержит явно времени. Ось z направим вертикально вверх. Активная сила — сила тяжести — допускает существование силовой функции

а значит, существует интеграл живых сил

который можно представить в виде

Момент активных сил и сил реакции связи относительно оси z равен нулю, поэтому из теоремы об изменении момента количества движения относительно оси z имеем

откуда

или

где секторная скорость точки.

Задачу удобнее решать в цилиндрических координатах . В этих координатах интеграл живых сил и интеграл площадей получают вид

Уравнение связи в цилиндрических координатах получает вид

откуда дифференцированием находим

Переписывая теперь интеграл живых сил

преобразуем его к виду

окончательно получим

Полученное уравнение позволяет найти закон изменения координаты Перепишем его в виде

где

Разделяя Переменные и интегрируя, получим

Так как представляет собой многочлен третьей степени относительно z, то стоящий слева интеграл является эллиптическим. После того, как будет найдено из последнего соотношения можно определить и уравнение траектории: с этой целью с помощью интеграла площадей исключим из дифференциального уравнения движения время и получим дифференциальное уравнение траектории

Как видно, задача об определении траектории также сводится к эллиптическим квадратурам.

д) Качественное исследование движения сферического маятника.

Если вектор начальной скорости точки лежит в вертикальной плоскости, то движение будет происходить в той же плоскости. Для этого случая т. е. Следовательно, задача сводится к обыкновенному математическому маятнику, который изучался выше.

Если то, как видно из квадратур, будет монотонной функцией относительно z. Для изучения закона изменения функции рассмотрим график (рис. 169) функции

Нетрудно заметить, что

Для больших по модулю значений z

и знак функции определяется знаком первого члена разложения

На интервале находится по крайней мере один корень у уравнения Координаты, определяемые полученными выше дифферециальными уравнениями, будут принимать вещественные значения только при условии, что подкоренное выражение неотрицательно. Пусть сначала начальное значение вещественно и отлично от нуля.

Рис. 169

Рис. 170

Тогда и имеются действительные корни а и Р уравнения в промежутках Действительное движение происходит на интервале, где неотрицательно, т. е. между корнями

Представим полином в виде

поскольку

имеем

а так как и по модулю меньше I, то, следовательно, числитель положителен. Но поэтому

отсюда следует, что по меньшей мере один из корни отрицателен, т. е. во всяком случае

Корень может быть как положительным, так и отрицательным (рис. 170). Пусть для определенности при координата z убывает. Тогда перед корнем надлежит взять знак минус, и z будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет значения а. Из интеграла площадей следует, что угол О изменяется лишь в одну сторону, может изменить знак лишь когда обращается в нуль, т. е. при или Если в начальный момент то является корнем уравнения и мы имеем критический случай. Дифференциальное уравнение для

можно преобразовать к виду

или

Если простые корни, то всюду и тогда будет происходить изменение координаты z. Если а и Р — кратные корни, то . В этом случае точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси z.

е) Определение реакции.

Реакция не входит в выражение для первых интегралов, и для ее определения следует исходить не из первых интегралов, а из самих уравнений движения материальной точки. Пусть тогда, когда реакция направлена к центру. Тогда уравнения движения в проекциях на декартовы оси координат запишутся в виде

а интеграл живых сил

Умножая уравнения движения соответственно на х, у, z и складывая, получим

или

Дифференцируя по времени уравнение связи

будем иметь

Повторное дифференцирование дает

или

В результате приходим к следующему уравнению для определения реакции:

или

Отсюда видно, что в задаче о движении сферического маятника реакция кроме постоянной зависит только от координаты Следовательно, на одинаковых параллелях реакции будут численно равны. Если при определении реакции получим во все время движения (что всегда выполняется при то маятник можно осуществить при помощи гибкой нерастяжимой нити. Если же во время движения обращается в нуль, то связь перестает быть натянутой, и после освобождения точки от связи приходим к новой механической задаче — задаче о движении свободной материальной точки.

ж) Малые колебания сферического маятника.

Запишем уравнения связи для сферического маятника в виде

откуда для отношения получим значение

и будем рассматривать малые отклонения маятника от вертикали, проходящей через начало координат. Тогда величина будет оставаться малой по сравнению с единицей, и приближенно можно считать, что

Верхнее положение точки является положением равновесия, но это положение неустойчиво, поскольку нижняя параллель всегда ниже экватора. Третье уравнение движения дает

или

При этом в положении равновесия откуда Если это условие не выполняется, то в силу того, что

а будем иметь Тогда из уравнения движения имеем

откуда

Но производная здесь не может неограниченно возрастать со временем, если остается ограниченной величиной. Координаты х и у точки определяются приближенными уравнениями

Принимая во внимание, что представим эти уравнения в виде

Положив получим общее решение системы уравнения движения

Не нарушая общности, положим, что при точка находится на оси х, а начальная скорость направлена перпендикулярно к этой оси. Тогда будем иметь

и соответствующее частное решение запишется в виде

Исключая время, получим уравнение,

которое представляет собой уравнение траектории проекции точки на плоскость т. е. движение проекции точки происходит по эллиптической траектории.

Пример 74. Тяжелая материальная точка движется по внутренней поверхности прямого кругового конуса, вершина которого обращена вниз, ось симметрии вертикальна, угол при вершине равен . В начальный момент расстояние точки от вершины конуса равно а, начальная скорость равна и направлена перпендикулярно к образующей конуса. Определить траекторию точки и давление, оказываемое ею на поверхность конуса.

Решение. Положение точки на поверхности конуса можно задать двумя координатами. В качестве таких координат выберем расстояние точки от вершины конуса и угол который образует вертикальная плоскость проходящая через ось симметрии конуса и точку М, с неподвижной плоскостью Рассматривая движение точки как сложное, состоящее из прямолинейного относительного движения в плоскости и переносного вращения вместе с плоскостью вокруг оси будем иметь

На точку действуют только сила тяжести и нормальная реакция гладкой поверхности, поэтому существует интеграл живых сил

Кроме того, действующие силы не создают момента относительно оси поэтому существует интеграл площадей

Постоянные и С выражаются через начальные данные

Два первых интеграла позволяют определить траекторию точки на поверхности конуса. В самом деле, исключая время, получим

или

Рис. 171

Рис. 172

Откуда уравнение траектории получается в квадратурах

Для определения давления точки на поверхность конуса можно было бы воспользоваться естественными уравнениями движения, но такой путь оказывается сложным, поскольку он требует знания траектории точки. Поэтому рассмотрим векторное уравнение движения точки

Давление точки на поверхность равно по величине и противоположно по направлению силе реакции которая зависит от активных сил, действующих на точку, и ускорения, с которым движется точка. Для определения давления требуется знать проекцию ускорения точки на нормаль к поверхности конуса. Определяя ускорение при помощи теоремы Кориолиса, заметим, что относительное ускорение направлено по образующей коиуса, а в переносном движении точка движется по окружности, плоскость которой ортогональна к оси z и имеет касательную и нормальную составляющие ускорения (рис 171). Нормальная составляющая ускорения направлена ортогонально к оси симметрии конуса, а по величине равна

Добавочное ускорение У коллинеарно с направлением ускорения и численно равно

На нормаль к поверхности даег проекцию только составляющая ускорения (рис. 172). Проектируя уравнение движения на нормаль к поверхности конуса, получим

откуда

Определив из интеграла площадей

будем иметь