5. Интегральные инварианты.

Французский математик и механик А. Пуанкаре обратил внимание на некоторые свойства механических движений, связанные с математическими понятиями, которые называются интегральными инвариантами.

Для упрощения рассуждений будем сначала предполагать, что дифференциальные уравнения движения механической системы имеют вид

и пусть выражения

представляют собой общее решение этой системы с определителем

тогда, если в -мерном пространстве переменных рассмотреть движение изображающей точки Р, выходящей в момент из положения можно установить непрерывное однозначное соответствие точек Р и

Можно показать, что в этом случае всякому многообразию с числом измерений в момент будет соответствовать некоторое другое многообразие V в пространстве переменных

Предположим, что начальное многообразие образует некоторую область -мерного пространства и пусть — соответствующая область в момент Тогда, если — некоторая достаточно гладкая функция координат и времени, тогда интеграл

распространенный по этому многообразию, имеет вполне определенный смысл и представляет собой функцию времени Чтобы проследить за изменением функции рассмотрим производную от по времени. Но так как область все время деформируется, удобно отнести интеграл к неизменной области Так как область получается из 50 в результате замены переменных

будем иметь

где

сохраняет знак, поскольку, по условию, нигде не обращается в нуль. После такой замены область интегрирования уже не будет зависеть от поэтому можно применить дифференцирование под знаком интеграла. Будем иметь

Но, как известно,

где

и

поэтому в определитель войдет строка, состоящая из элементов

и тогда

а следовательно,

Преобразуем теперь подынтегральное выражение

после чего можно записать

Определение. Назовем интеграл

интегральным инвариантом относительно системы дифференциальных уравнений, если при изменении времени он сохраняет постоянное значение независимо от того, какова область интегрирования в начальный момент

Из определения следует, что для того, чтобы интеграл был интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы в любой момент имело место условие

В силу произвольности области это условие будет выполнено только тогда, когда имеет место равенство

Иначе говоря, величина должна удовлетворять уравнению с частными производными Такие величины называют множителями системы дифференциальных уравнений. Если при этом имеет порядок системы, то эта величина называется множителем Якоби.

Замечание. Если имеет место условие

то для нахождения множителя получаем уравнение

откуда следует условие и тогда выражение

будет интегральным инвариантом системы. В частности, таким интегральным инвариантом должен быть фазовый объем гамильтонова фазового пространства (см. теорему Лиувилля). Последнее свойство имеет большое значение в статистической механике.