§ 3. ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

Рассмотрим две системы координат: неподвижную и подвижную движущуюся поступательно и равномерно с постоянной скоростью в положительном направлении оси х. Пусть соответственные оси систем отсчета и параллельны. Каждая система предполагается снабженной масштабом и часами. Масштабы и часы обеих систем одинаковы. Пусть, кроме того, в начальный момент точки О и совпадают, а отсчет часов равен нулю. Каждому набору значений х, у, z, t, полностью определяющему место и время событий в покоящейся системе, соответствует набор значений устанавливающий это событие в подвижной системе. Необходимо найти уравнения, связывающие эти величины. Эти уравнения должны быть линейными в силу свойства однородности, которое приписывается пространству и времени. Все точки системы должны быть эквивалентны по отношению к преобразованию.

Выберем на оси точку Р, покоящуюся в подвижной системе координат. Тогда для неподвижного наблюдателя имеем

Время в подвижной системе является функцией координат и времени неподвижной системы

Пусть из начала в момент времени посылается луч света в точку Р, который отражается от этой точки в момент и приходит в начало координат в момент Из свойств синхронности часов следует

или

Применяя принцип постоянства скорости света к покоящейся системе, имеем

и, рассматривая х как бесконечно малую величину, получим

Пренебрегая здесь членами выше второго порядка малости, будем иметь

откуда следует

или

Этому уравнению удовлетворяет функция

где — неизвестная пока функция от Чтобы найти теперь величины , заметим, что свет при измерении в движущейся системе должен распространяться со скоростью с. Если через обозначить координату точки Р, то сигнал из начала координат достигнет точки Р за время

Но

где , поэтому

откуда

или

причем

Пусть, далее, Q — точка подвижной системы, расположенная на оси Время распространения сигнала из точки до точки Q в неподвижной системе определяется из соотношения

которое дает

В подвижной системе координат

аналогично получим

Вводя обозначение и подставляя значение х приходим к следующим формулам преобразования:

Для определения функции рассмотрим еще одну систему движущуюся поступательно в отрицательном направлении оси со скоростью V. Дважды применяя формулы преобразования, будем иметь

Соотношение между не содержит , следовательно, системы находятся в покое относительно друг друга. Тогда

Для выяснения физического смысла функции рассмотрим точку Ордината этой точки равна

Из соображений симметрии ясно, что эта величина может зависеть только от величины скорости, а не от направления движения, поэтому

Формулы преобразования теперь запишутся в виде

и представляют собой преобразование Лоренца. Преобразования Лоренца приводят к представлениям, противоречащим привычным представлениям о свойствах пространства и времени. Рассмотрим, например, понятие «длины». Пусть в системе Опокоится некоторый стержень длины направленный вдоль оси . Длину измеренную в системе назовем собственной длиной стержня. Найдем длину этого стержня в системе Обозначим абсциссы концевых точек стержня через Для определения длины в системе нужно определить координаты концевых точек стержня в момент Воспользуемся формулами преобразования Лоренца

которые дают

т. е.

Обе системы отсчета являются совершенно равноправными. Поэтому, если стержень покоится в системе то его длина в системе Обудет меньше, чем в системе так что собственная длина всегда больше той, которую отмечает неподвижный наблюдатель.

Сокращение длины имеет чисто кинематический характер.

Фундаментальному изменению подвергается в теории относительности и представление о времени. Если в некоторой точке системы происходит физический процесс в течение времени то в системе для моментов получим

Отсюда сразу же находим:

т. е. собственное время всегда меньше, чем время, прошедшее между событиями в неподвижной системе отсчета. Течение времени оказывается зависящим от состояния движения. Не существует универсального мирового времени. Подчеркнем, что имеется полная взаимность между системами и если физический процесс происходит в точке х и имеет длительность то в системе он будет иметь длительность

Одновременность событий.

Пусть в системе в некоторый момент произошли одновременно два физических события в точках Рассмотрим инерциальную систему относительно которой система движется поступательно со скоростью в положительном направлении вдоль оси х. В системе первое событие происходит в момент

второе — в момент

При этом события уже происходят не одновременно, так как

В общем случае промежуток времени М может оказаться как положительным, так и отрицательным, но понятие одновременности событий оказывается относительным.

Преобразование скорости.

Преобразование Лоренца позволяет по координатам события в одной системе отсчета найти

координаты того же события в другой системе. Эти же формулы позволяют определить зависимость скоростей частицы в различных системах координат. Представим формулы Лоренца в виде

Дифференцированием отсюда получим:

откуда

Полученные формулы определяют преобразование скоростей. Они дают и закон сложения скоростей в теории относительности.

В частном случае, при движении частицы параллельно оси х будем иметь

Если же отношение то формула переходит в обычный закон сложения скоростей классической механики.

Нетрудно убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших скорости света, во всяком случае не больше, чем скорость света В самом деле, пусть где — постоянные положительные коэффициенты, меньшие единицы. Тогда

и так как то абсолютная скорость всегда остается меньше скорости света.