3. Эллипсоид инерции.
На прямой 
выберем точку Р таким образом, чтобы выполнялось условие
Обозначая координаты точки Р через X, Y, Z, будем иметь
Для момента инерции относительно оси 
получим
Сокращая это равенство на 
получим уравнение геометрического места точек Р
которое определяет поверхность второго порядка. Если все точки системы расположены в конечной области пространства, то 
всегда будет иметь конечное значение. Если, кроме того, все точки системы не лежат на одной прямой, то 
отлично от нуля, а поверхность представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции, а его главные оси — главными осями инерции. Вид эллипсоида инерции зависит от вида коэффициентов А, В, С, D, Е, F. Очевидно, что различным точкам соответствуют, вообще говоря, различные эллипсоиды инерции.
Среди всех эллипсоидов отметим тот, который может быть построен для центра масс системы. Такой эллипсоид называется центральным, а его главные оси — главными центральными осями инерции. В главных осях уравнение эллипсоида инерции получит вид
Необходимым условием того, чтобы ось z была главной, является отсутствие в уравнении эллипсоида инерции линейных относительно z членов, т. е.
или
Теорема. Если прямая 
является главной осью инерции для эллипсоидов, построенных в точках О и Ото эта прямая является главной осью инерции для всех своих точек и проходит через центр масс системы (рис. 216).
Доказательство. По условию теоремы:
но (см. рис. 216)
Тогда
т. e. ордината центра масс равна нулю. С другой стороны,
т. e. абсцисса центра масс равна нулю, так что ось 
проходит через центр масс. Рассмотрим на оси z произвольную точку 
. Для этой точки вычислим 
после чего справедливость теоремы становится очевидной.
Рис. 216
Рис. 217
Следствие. Главные центральные оси инерции являются главными осями для всех своих точек.
Пример 111. Определить момент инерции однородного круглого тонкого диска относительно оси 
проходящей через центр диска и составляющий угол Ф с плоскостью диска (рис. 217).
Решение. Выберем систему координат 
с началом в центре диска так, чтобы ось 
была перпендикулярна к плоскости диска. Такие оси будут главными осями инерции диска. В самом деле, здесь 
так что
Тогда
где
