3. Случай Эйлера — Пуансо.

Если тяжелое твердое тело имеет в качестве неподвижной точки центр тяжести, то, предоставленное самому себе без всякой начальной скорости, оно будет находиться в равновесии при любых возможных положениях. Результирующий момент внешних активных сил относительно неподвижной точки будет все время равен нулю. Если в качестве координатных осей, неизменно связанных с телом, выбрать главные оси инерции х, у, z с началом в неподвижной точке твердого тела, то уравнения Эйлера

будут представлять собой замкнутую систему трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех неизвестных функций Задача при этом сводится к нахождению трех величин в функции времени.

Аналитическое решение задачи.

Для определенности будем сначала предполагать, что моменты инерции относительно главных осей удовлетворяют условиям

В рассматриваемом случае уравнения движения допускают два первых интеграла: интеграл живых сил

и интеграл момента количества движения

Но из теоремы об изменении момента количества движения, записанной в векторном виде

непосредственно следует

т. е. вектор момента количества движения остается во все время движения постоянным не только по величине, но и по направлению.

Введем новую произвольную постоянную D так, чтобы она удовлетворяла условию

и из уравнений (а) и (b) выразим через

По своему механическому смыслу величины должны быть действительными, что возможно только при выполнении неравенств

Введем обозначения

Пусть, кроме того, для определенности Тогда будем иметь

и выражения для можно будет переписать в виде

Так как в действительном движении правые части этих выражений должны быть неотрицательными, то должны выполняться условия

Сравнивая эти выражения с выведенным выше неравенством, имеем

откуда

При выполнении этих условий величина никогда не обращается в нуль и в силу непрерывности не меняет знака. Не нарушая общности, в дальнейшем будем считать Величина обращается в нуль всякий раз, когда достигает значения Как видно из уравнения Эйлера

производная меняет знак одновременно с При будем иметь величина обращается в нуль, и происходит смена знака. При имеем возрастает до тех пор, пока не станет по величине равной Подставляя значения во второе уравнение Эйлера, получаем

или

где знак «плюс» берется, когда возрастает, до того момента, пока не достигнет значения Затем будет уменьшаться от до а перед радикалом следует брать знак «минус» и т. д. Интегрирование последнего уравнения приводит к эллиптическому интегралу. Если ввести обозначения

где — новая переменная, то уравнение примет вид

или

где

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

где произвольная постоянная, представляющая собой момент времени, в который при своем возрастании обращается в нуль.

Определив как функцию времени, будем знать для каждого момента времени а следовательно, и При этом величины и будут периодически обращаться в нуль, в то время как никогда в нуль не обращается. Величины являются периодическими функциями времени и имеют период

Когда время увеличивается на эту величину, принимают прежние значения, а мгновенная ось вращения занимает первоначальное положение в теле (но не по отношению к неподвижной системе отсчета).

Для завершения решения задачи остается определить углы Эйлера как функции времени. Для упрощения вычислений неподвижную ось направим вдоль вектора момента количества движения в и рассмотрим проекции вектора а на оси неизменно связанные с твердым телом:

Подставляя сюда значение получим

Из последнего уравнения теперь имеем

а из первого

В результате и О определяются как функции времени. Рассматривая кинематические уравнения Эйлера

исключим из них , после чего будем иметь

Отсюда производная определяется через известные функции времени

Задача о движении теперь полностью сведена к квадратурам. Выражение можно представить в более симметричной форме. В самом деле, из уравнений

находим

и тогда

так что во все время движения угол только возрастает (не нарушая общности всегда можно считать, что

Мы рассмотрели движение твердого тела, закрепленного в центре масс, при выполнении условий

Рассмотрим теперь особенные случаи, когда выполняется одно из равенств:

Если

Из формул следует

Последнее из этих равенств возможно только при т. е. твердое тело совершает вращение вокруг оси х с постоянной угловой скоростью

Такое движение называют постоянным вращением твердого тела. Если же то

откуда

Из формул теперь получим

или

Интегрируя последнее уравнение и принимая знак «плюс», получим

откуда

Зная теперь легко можно найти