5. Теорема Якоби.

Мы установили, что для построения общего интеграла канонических уравнений Гамильтона достаточно найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. К. Якоби принадлежит следующая замечательная теорема.

Теорема. Если известен полный интеграл

уравнения Гамильтона — Якоби

то система равенств

где — произвольные постоянные, образует общее решение канонических уравнений Гамильтона.

Доказательство. Пусть полный интеграл уравения в частных производных Гамильтона — Якоби. Покажем, что уравнения

определяют общее решение канонических уравнений Гамильтона. Прежде всего, так как полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, то определитель матрицы

составленной из частных производных второго порядка, существует и отличен от нуля, поэтому уравнения (а) все независимы и определяют неявные функции в зависимости от и произвольных постоянных Остается показать, что равенства (а) сохраняются во все время движения механической системы, т. е. при дифференцировании по времени в силу канонических уравнений Гамильтона выполняются условия

Рассмотрим первое из этих условий. В силу канонических уравнений Гамильтона будем иметь

С другой стороны, так как есть полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то при подстановке этого полного интеграла в уравнение Гамильтона — Якоби, последнее обращается в тождество, дифференцируя которое по будем иметь

Сравнивая полученный результат с правой частью выражения приходим к убеждению, что выражение будет равно нулю в силу канонических уравнений Гамильтона. Обращаясь ко второму условию, будем иметь

Подставляя снова полный интеграл в уравнение Гамильтона — Якоби и дифференцируя результат по параметру получим тождество

откуда следует, что и правая часть равенства обращается в нуль в силу канонических уравнений Гамильтона. Теорема доказана.

Задача определения общего интеграла канонических уравнений Гамильтона сводится теперь к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.