6. Интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби.

Рассмотрим сначала некоторые свойства полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби

По определению, полным интегралом

уравнения в частных производных называется функция, зависящая от всех независимых переменных произвольных постоянных удовлетворяющая тождественно этому уравнению и отвечающая условию, что ранг матрицы из частных производных

имеющей столбца и строк, равен числу независимых переменных

Существует другое эквивалентное определение полного интеграла: функция является полным интегралом уравнения в частных производных, если, исключая постоянные а из равенства

и равенств

полученных дифференцированием можно получить единственное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет данная функция; то, что ранг матрицы, составленной из частных производных, равен есть необходимое, но не достаточное условие возможности такого исключения.

Можно заметить, что если функция V не входит явно в уравнение в частных производных, то наряду с решением будет существовать решение этого уравнения в частных производных, где С — произвольная постоянная, поэтому можно искать полный интеграл, содержащий одну из произвольных постоянных аддитивно.

Уравнение Гамильтона — Якоби не содержит явно функцию V, поэтому полный интеграл этого уравнения можно искать в виде

Пример 122. Покажем, что функция

является полным интегралом уравнения в частных производных, а

не является полным интегралом.

Для построения уравнения в частных производных в первом случае имеем равенства

откуда, исключая а, найдем

Во втором случае определяются постоянные

но они не могут быть исключены.

Заметим, что производная не входит явно в функцию Я, и исключение постоянных из равенств

будет приводить к уравнению Гамильтона — Якоби, если отличен от нуля определитель из частных производных

Пример 123. Рассмотрим свойства полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби

задачи о свободном падении тяжелой материальной точки. Покажем, что полный интеграл этого уравнения имеет вид

В самом деле, для исключения постоянных имеем равенства

причем

и существует, если Исключение приводит к исходному уравнению.

Если время не входит явно в функцию Гамильтона Н, то полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде

где - произвольная постоянная, — полный интеграл уравнения в частных производных

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция V удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби. Кроме того, если — полный интеграл уравнения в частных производных (1), то этот интеграл имеет вид

и в результате исключения постоянных си, из равенств

должно следовать уравнение в частных производных (1). Последнее возможно, если отличен от нуля определитель из частных производных

Этот определитель тождественно равен определителю

и, следовательно, V есть полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.